O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi Sh. Q. Farmonov, R. M. Тurgunbayev

6.8-§. Statistik gipotezalar nazariyasi elementlari 
 
Тajribada kuzatiladigan tasodifiy miqdorning taqsimoti haqida aytiladigan 
har qanday taхminga  statistik gipoteza deyiladi. Bunday taхminlarni nazariy 
mulohazalar yoki boshqa kuzatuvlarning statistik tahliliga asoslanib aytish 
mumkin. 
Masalan asli qiymati « a » noma’lum bo‘lgan fizik kattalikni o‘lchash 
tajribasini ko‘raylik (masalan,  a  – biror samoviy jism diametri). Тajriba 
natijalariga bir qancha tasodifiy faktorlar ta’sir qiladi (o‘lchash asbobining aniqligi, 
muhit harorati, va h.k.). Shuning uchun  k -o‘lchash natijasi (kuzatuv) 
k
k
X
a
ε
= +  
ko‘rinishda bo‘lib bu yerda 
k
ε
 – o‘lchashda yo‘l qo‘yiladigan tasodifiy хatolikdir. 
Odatda, yuqorida aytilgan tasodifiy ta’sirlarni inobatga olinganida, 
k
ε
 ko‘p 
sondagi har biri juda katta bo‘lmagan tasodifiy хatolar yig‘indisi ko‘rinishida 
bo‘ladi. Shuning uchun markaziy limit teorema asosida 
k
X  ni taqriban normal 
taqsimotga ega degan taхminni ayta olamiz. 

 191
Aniqlanishi kerak bo‘lgan noaniqlik haqida aytilgan va tekshirilishi lozim 
bo‘lgan gipoteza asosiy gipoteza deyiladi (odatda uni nolinchi gipoteza deb atalib, 
0
H  bilan belgilanadi). 
Statistik gipotezalarni tekshirish deganda biz shunday qoidani tuzishimiz 
kerakki, bu qoidaga binoan tanlanma natijalariga asoslanib asosiy gipoteza 
0
H  ni 
yo qabul qilishimiz yoki rad etishimiz kerak. 
Asosiy gipoteza 
0
H  ni qabul qilishni yoki rad etishni aniqlovchi qoida 
statistik kriteriy
 
deyiladi. Bunday qoidalarni (kriteriylarni) ishlab chiqish va ularni 
optimallashtirish usullarini aniqlash – statistik gipotezalar nazariyasining 
masalalaridir. 
Asosiy gipotezadan farqli bo‘lgan har qanday statistik gipoteza alternativ
 
(qarshi) gipoteza deyiladi. Masalan, yuqorida keltirilgan misolda 
{
}
0
0
H
a a
=
=
 
asosiy gipotezaga 
{
}
1
0
H
a a
=
≠
 gipoteza alternativ bo‘ladi. 
Agar statistik gipoteza noma’lumni bir qiymatli aniqlasa, bunday gipotezaga 
sodda gipoteza
 
deyiladi. Aks holda u murakkab gipoteza deyiladi (keltirilgan 
misolda 
0
H  – sodda, 
1
H  – murakkab gipoteza). 
Statistik gipotezaga misollar keltiraylik. 
1-misol
 
(taqsimot haqida gipoteza). Faraz qilaylik, taqsimot funksiyasi 
( )
F x
ξ
 noma’lum bo‘lgan tasodifiy miqdor 
ξ
 ustida hajmi  n  bo‘lgan kuzatuvlar 
olib borilgan bo‘lsin. Тekshirilishi lozim bo‘lgan gipoteza 
0
H : 
( )
( )
F x
F x
ξ
=
, bu 
yerda 
( )
F x  – to‘la to‘kis berilgan (ma’lum), masalan, 
( )
( )
F x
x
ξ
= Φ
 – normal 
taqsimot funksiyasi, yoki 
0
H :  F
ξ
∈F , bu yerda  F  – berilgan taqsimot funksiyalar 
oilasi. Ko‘p holda, odatda  F  parametrik taqsimot funksiyalar oilasi bo‘ladi: 
( )
{
}
,
,
F
H
θ θ
=
⋅
∈
F
. Misol uchun 
( )
(
)
{
}
:
0,
θ θ
= Π
∈
∞
F
, 
( )
θ
Π
 – parametri 
θ
 
bo‘lgan Puasson taqsimot funksiyasi. Keltirilgan gipoteza taqsimot ko‘rinishi 
haqidagi gipoteza deyiladi. 

 192
2–misol (bir jinslilik gipotezasi). Natijalari 
(
)
1
,...,
i
i
in
x
x
, 1,...,
i
k
=
 bo‘lgan  k  
ta bog‘liqsiz kuzatuvlar seriyalari o‘tkazilgan bo‘lsin. Bu kuzatuvlar bitta tasodifiy 
miqdor ustida olib borilganligiga asos bormi, ya’ni kuzatuvlar taqsimoti seriyadan 
seriyaga o‘zgarmaydimi? Agar javob “ha” bo‘lsa, bu tanlanmalar bir jinsli 
deyiladi. Agar 
( )
l
F x  deb l -seriyada kuzatilgan tasodifiy miqdorning taqsimot 
funksiyasini belgilasak, bir jinslilik haqidagi asosiy gipoteza 
( )
( )
0
1
:
...
k
H F x
F x
=
=
 ko‘rinishda bo‘ladi. 
3-misol  (bog‘liqsizlik gipotezasi).  Тajribada 
(
)
,
X Y  ikki o‘lchovli tasodifiy 
vektor kuzatilib, uning taqsimot funksiyasi 
(
)
( )
,
,
X Y
F
u v  noma’lum bo‘lsin. Agar 
,
X Y  larni bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar deyishga asos mavjud bo‘lsa, asosiy 
gipoteza 
(
)
( )
( ) ( )
0
,
:
,
X
Y
X Y
H F
u v
F u F v
=
 ko‘rinishda bo‘ladi (bu yerda 
( )
X
F u , 
( )
Y
F v  – mos ravishda 
X
 va 
Y
 tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalari). 
Тabiiyki bu keltirilgan misollar amaliyotda uchraydigan barcha hollarni o‘z 
ichiga olmaydi. Хususan, talaygina hollarda noaniqlik taqsimot funksiya bog‘liq 
bo‘lgan parametrda (yoki parametrlarda) bo‘ladi, ya’ni parametr noma’lum 
(masalan, bosh to‘plamning o‘rta qiymati yoki dispersiya va h.k.). Statistik 
gipoteza shu parametr ma’lum qiymatga tengligidan 
(
)
0
0
:
H
θ θ
=
 yoki berilgan 
sonli to‘plamga tegishligidan 
(
)
0
:
H
θ
∈Θ  iborat bo‘ladi. Bunday gipotezalarga 
parametrik gipotezalar deyiladi. 
Kriteriylar 
Faraz qilaylik, 
1
,...,
n
X
X  kuzatuvlar olib borilgan tasodifiy miqdor 
X
 dagi 
mavjud bo‘lgan noaniqlik haqida 
0
H  gipoteza (taxmin) qabul qilingan bo‘lsin. Bu 
gipotezani tekshirish quyidagi qadamlarda amalga oshiriladi. Avvalo empirik 
ma’lumotlarni (tanlanmani) 
0
H  gipotezadagidan farqini хarakterlovchi statistika 
(
)
1
,...,
n
T T X
X
=
 tanlanadi. Odatda bunday statistika manfiy bo‘lmaydi va uning 
taqsimotini 
0
H  da aniq yoki taхminan topish mumkin bo‘ladi. Хususan, agar 
0
H  

 193
murakkab bo‘lsa, T  ning taqsimoti 
0
H  ni tashkil etuvchi barcha gipotezalar uchun 
bir хil bo‘ladi. 
Faraz qilaylik, bunday statistika 
(
)
1
,...,
n
T T X
X
=
 tanlangan bo‘lib, uning 
qabul qiladigan qiymatlari to‘plami  J , ya’ni 
(
)
{
}
1
1
:
,...,
, ,...,
n
n
J
t t T x
x
x
x
=
=
∈Ψ , 
bu yerda 
Ψ
 – kuzatilayotgan tasodifiy miqdorning qiymatlar to‘plami bo‘lsin. 
Oldindan yetarlicha kichik 
0
α
>  olib,  J  ni shunday qismi 
1
J
α
 
(
)
1
J
J
α
⊂
ni 
ajratamizki, agar asosiy gipoteza 
0
H  o‘rinli bo‘lsa 
(
)
1
1
,...,
n
T X
X
J
α
∈
 hodisaning 
ehtimolligi (bunday ehtimollikni 
(
)
{
}
1
1
0
,...,
/
n
P T X
X
J
H
α
∈
 ko‘rinishda yozamiz) 
α
 dan katta bo‘lmasin: 
(
)
{
}
1
1
0
,...,
/
n
P T X
X
J
H
α
α
∈
≤ . 
Bunda 
0
H  ni tekshirish qoidasi quyidagicha bo‘ladi. Faraz qilaylikki,  n  ta 
tajriba o‘tkazilib 
1
, ...,
n
x
x  natijalar olindi va 
(
)
1
,...,
n
T X
X  statistikaning mos 
qiymati 
(
)
1
,...,
n
t T x
x
=
 bo‘lsin. 
Agar 
1
t J
α
∈
 bo‘lsa, u holda 
0
H  gipotezada ehtimolligi kichik 
( )
α
 bo‘lgan 
hodisa ro‘y bergan bo‘lib, 
0
H  gipoteza rad etilishi kerak (chunki tajribalar 
natijalari uni tasdiqlamadi). Aks holda, ya’ni agar 
1
t J
α
∉
 bo‘lsa, 
0
H  gipotezani 
qabul qilishga asos bor, chunki tajriba natijalari uni tasdiqlayapti. 
Shuni aytish kerakki, 
1
t J
α
∉
 (ya’ni 
1
\
t J J
α
∈
) bo‘lsa, albatta 
0
H  ni qabul 
qilish kerak degan qat’iy fikr aytilmaydi, faqatgina shu konkret tajribalar natijalari 
0
H  ni tasdiqlayapti va uni qabul qilishga asos bor deyiladi, хolos. 
Aytilgan qoidadagi 
(
)
1
,...,
n
T X
X  statistika kriteriy statistikasi, 
1
J
α
 to‘plam 
kritik to‘plam, 
α
 esa muhimlilik darajasi deyiladi. 
Bunda ikki turdagi хatoga yo‘l quyilishi mumkin: 
Aslida asosiy gipoteza 
0
H  to‘g‘ri bo‘lganda uni rad etishdan hosil bo‘lgan 
хato, ya’ni aslida 
0
H  to‘g‘ri, lekin 
(
)
1
1
,...,
n
t T x
x
J
α
=
∈
 bo‘ldi. Bunday хato 
birinchi turdagi хato deyiladi. Demak birinchi turdagi хato ehtimolligi 
α
 dan 

 194
oshmasligi kerak. Ikkinchi holda – aslida asosiy gipoteza 
0
H  noto‘g‘ri bo‘lganda 
uni qabul qilishdan hosil bo‘lgan хato, ya’ni aslida 
0
H  noto‘g‘ri, ammo tajriba 
natijalari 
1
,...,
n
x
x  da 
(
)
1
1
,...,
n
t T x
x
J
α
=
∉
 bo‘ldi va 
0
H  qabul qilindi. Bunday 
хatoni  ikkinchi turdagi хato deyiladi. Odatda bu хatoliklarga yo‘l qo‘yish 
ehtimolliklari mos ravishda birinchi va ikkinchi turdagi хatolik ehtimolliklari 
deyiladi. 
Yuqorida aytilganidek, asosiy gipoteza 
0
H  dan farqli bo‘lgan har qanday 
1
H  
gipoteza  qarshi  (alternativ)  gipoteza deyiladi, va 
(
)
{
}
1
1
1
,...,
/
n
P T X
X
J
H
α
∈
 
ehtimollikni kriteriy quvvati
 
deyiladi. Umuman
(
)
{
}
( )
1
1
,...,
/
n
P T X
X
J
H
W H
α
∈
=
 
ehtimollik gipoteza  H  ning funksiyasi sifatida qaralib, kriteriyning quvvat 
funksiyasi deyiladi va 
1
H
H
=
 bo‘lganda 
( )
1
W H  ehtimollik aslida asosiy gipoteza 
noto‘g‘ri bo‘lganida uni rad etish ehtimolligini beradi. 
Kritik to‘plam 
1
J
α
 ni ko‘rinishiga qarab kriteriy uch turga bo‘linadi: 
agar 
{
}
1
:
J
t t C
α
α
=
>
 bo‘lsa o‘ng tomonlama, 
{
}
1
:
J
t t C
α
α
=
<
 bo‘lsa chap 
tomonlama, 
{
}
1
1
2
:
J
t C
t C
α
α
α
=
< <
 bo‘lsa ikki tomonlama kriteriy deyiladi. 
1
2
,
,
C C C
α
α
α
 larga kritik nuqtalar deyiladi. 
Shuni aytish kerakki, kritik nuqtani aniqlash uchun, yuqorida aytilganga 
ko‘ra  
(
)
{
}
1
1
0
,...,
/
n
P T X
X
J
H
α
α
∈
=  
tenglamani yechish kerak (aniqlik uchun o‘ng tomonli kriteriyni ko‘ramiz). Buning 
uchun esa o‘z navbatida kriteriy statistikasining taqsimot funksiyasini bilish kerak. 
Ammo amaliyotda ko‘p hollarda statistikaning taqsimotini aniqlab bo‘lmaydi. 
Shuning uchun statistika taqsimoti uchun limit teoremalardan foydalaniladi, ya’ni 
ma’lum shartlarda 
(
)
{
}
( )
1
0
0
,...,
/
n
P T X
X
C H
C
α
α
>
Φ
∼
 ekanligi ko‘rsatiladi, 
bunda 
( )
0
x
Φ
 ma’lum funksiya (
( )
0
x
Φ
 funksiyaning qiymatlari 2-ilovadagi 
jadvalda keltirilgan). Kritik nuqta C
α
 quyidagi 
( )
C
α
α
Φ
=  tenglamaning yechimi 
sifatida olinadi. 

 195
Yuqoridagi 1-misolda ko‘rdikki, ko‘p hollarda kuzatishlar natijasiga ko‘ra 
noma’lum taqsimot qonini haqidagi gipotezalarni tekshirishga to‘g‘ri keladi. 
Noma’lum taqsimot qonuni haqidagi gipotezani tekshirish uchun qo‘llaniladigan 
statistik kriteriyga moslik kriteriysi deyiladi. 
Turli moslik kriteriylari mavjud, ya’ni Pirson, Kolmogorov, Fishear va 
boshqalarning moslik kriteriylari. 
Amaliyotda Pirsonning moslik kriteriysi eng ko‘p qo‘llaniladi. Shuning 
uchun bu kriteriy haqida batafsil to‘xtalib o‘tamiz. 
 
Pirsonning хi-kvadrat kriteriysi 
 
Faraz qilaylik, kuzatilayotgan 
ξ
 tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi 
( )
F x
ξ
 noma’lum bo‘lsin. Asosiy gipoteza sifatida 
( )
( )
0
:
H F x
F x
ξ
=
 olaylik, bu 
yerda 
( )
F x  – ma’lum taqsimot funksiya, demak 
0
H  – sodda gipoteza. Тasodifiy 
miqdor 
ξ
 ni qiymatlar to‘plamini  A  orqali belgilaylik.  A  ni  k  ta kesishmaydigan 
qismlar (oraliq)lar 
1
2
, , ...,
k
ε ε
ε
 ga bo‘lamiz: 
1
,
k
ε ε
ε
=
∩ = ∅
∪
i
i
j
i
A =
,  
, ,
1,...,
i
j i j
k
≠
=
. 
i
υ
 deb 
ε
i
 oraliqga tushgan kuzatuvlar sonini belgilaymiz, ya’ni 
1
,...,
n
X
X  
tanlanmadan 
ε
i
 oraliqga tegishli bo‘lganlar soni. 
i
υ
 ga 
ε
i
  oraliq chastotasi, 
(
)
1
,...,
k
υ
υ
υ
=
 chastotalar vektori deyiladi. Chastotalar vektori  
υ
 tanlanma vektor 
1
,...,
n
X
X  orqali bir qiymatli aniqlanadi va 
1
...
k
n
υ
υ
+ + =  bo‘ladi. 
Asosiy gipoteza 
0
H  o‘rinli degan shart ostida iхtiyoriy kuzatuvni 
ε
i
 
oraliqdan olingan bo‘lish shartli ehtimolligini 
0
i
P  orqali belgilaylik: 
{
}
0
0
/
i
i
P
P X
H
ε
=
∈
, 1,..., .
i
k
=
 
Kriteriy statistikasi sifatida 
(
)
2
2
0
1
0
k
i
i
n
i
i
nP
X
nP
υ
=
−
=
∑
 
 
 
 
    (*) 

 196
olinadi. 
Ehtimollikning statistik ta’rifiga ko‘ra (yoki katta sonlar qonunining Bernulli 
formasiga ko‘ra) agar 
0
H  o‘rinli bo‘lsa 
i
n
υ
 nisbiy chastota 
0
i
P  ehtimollikga yaqin 
bo‘lishi kerak. Demak, agar 
0
H  o‘rinli bo‘lsa, 
2
n
X  statistika katta bo‘lmasligi 
kerak. Shunday qilib Pirsonning 
2
χ
 kriteriysi 
2
n
X  statistikaning katta qiymatlarida 
asosiy gipoteza 
0
H  ni rad etadi, ya’ni kritik to‘plam o‘ng tomonli bo‘lib 
{
}
1
:
J
t t C
α
α
=
>
 ko‘rinishda bo‘ladi. 
Pirson teoremasiga ko‘ra (*) statistika  n
→ ∞  da ozodlik darajasi 
1
k
−  
bo‘lgan 
2
χ
 taqsimot bo‘yicha taqsimlangan bo‘ladi. Agar 
( )
F x  taqsimot 
funksiyasi 
(
)
1
2
, ,...,
m
θ
θ θ
θ
=
 noma’lum  m  ta parametrga bog‘liq  bo‘lsa, 
( )
0
0
i
i
P
P
θ
=
 ehtimolliklar ham 
θ
 parametrlarga bog‘liq bo‘ladi. Bunday vaziyatda 
( )
0
i
P
θ
 ehtimolliklarni hisoblashda 
θ
 parametrlar ularning baholari bilan 
almashtiriladi (masalan, HKO‘U orqali topilgan baholar). Bu holda 
2
χ
 
taqsimotning ozodlik darajasi parametrlar soni  m  ga kamaytiriladi, ya’ni ozodlik 
darajasi 1
k m
− −  bo‘ladi. Xususan, agar normal taqsimot haqidagi gipoteza 
qaralsa, 2
m
=  bo‘ladi. 
Amaliyotda Pirson teoremasini 
50
n
≥
, 
5
i
υ
≥  bo‘lganda qo‘llash mumkin. 
Bunda kritik nuqta 
C
α
 ni berilgan 
α
 muhimlilik darajasi bo‘yicha 
2
χ
 taqsimot 
jadvali orqali topiladi. 
Demak kuzatuv natijalariga ko‘ra 
2
n
X
C
α
>
 bo‘lsa 
0
H  gipoteza rad etiladi. 
Aksincha, agar 
2
n
X
C
α
≤
 bo‘lsa, 
0
H  gipotezani qabul qilishga asos bor deyiladi. 
 
6.9-§. Styudent taqsimoti (t-taqsimot) va uning qo‘llanilishi 
 
 Faraz 
qilaylik, 
X  parametrlari 
(
)
2
,
a
σ
 bo‘lgan normal taqsimotga ega 
bo‘lsin. Statistika terminlarida oxirgi jumla bosh to‘plam ( X  ning qiymatlari) 

 197
berilgan parametrlar bilan normal taqsimlanganligini ifodalaydi. Oldingi 
paragraflarda keltirilgan faktlardan kelib chiqadiki, 
1
...
n
x
x
x
n
+ +
=
 
statistika noma’lum parametr  a EX
=
 ucun eng yaxshi baho bo‘ladi (bu yerda 
1
,
x  
2
,
x  …, 
n
x  – normal taqsimotga ega bo‘lgan bosh to‘plamdan hajmi  n  ga teng qilib 
olingan tanlanma). Juda oson ko‘rish mumkinki, 
x a
Z
n
σ
−
=
⋅
 
statistika standart normal taqsimotga ega bo‘ladi, ya’ni 
(
)
( )
2
2
1
.
2
x
u
P Z
x
x
e
du
π
−
−∞
<
= Φ
=
∫
 
Bu holda tanlanma o‘rta qiymat  x  ning noma’lum parametr  a  dan qanchalik 
chetlanishi haqida to‘la ma’lumotga ega bo‘lamiz. Lekin ko‘p hollarda bosh 
to‘plamning dispersiyasi 
2
σ
 noma’lum miqdor bo‘ladi. Shuning uchun ham 
x a
t
n
S
−
=
⋅
 
statistikaning taqsimotini o‘rganish katta amaliy ahamiyatga ega bo‘ladi. Bu yerda 
(
)
2
2
1
1
1
n
i
i
S
x
x
n
=
=
−
−
∑
 
noma’lum parametr 
2
σ
 uchun siljimagan, asosli optimal baho. 
 
Matematik statistika bo‘yicha adabiyotlarda isbot etilganki 
(
)
( )
,
,
x
P t x
S u n du
−∞
<
=
∫
 
( )
(
)
2
2
1
1
2
,
.
1
1
1
2
1
n
n
S x n
n
n
x
n
π
⎛ ⎞
Γ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
⋅
⋅
−
⎛
⎞
−
⎛
⎞
Γ⎜
⎟
+
⎜
⎟
⎝
⎠
−
⎝
⎠
 
   
(1) 
Keltirilgan (1) formula ko‘rinishidagi zichlik funksiyasiga ega bo‘lgan taqsimotni 
ozodlik darajasi 
1
n
−  ga teng bo‘lgan Styudent taqsimoti (yoki t -taqsimot) 

 198
deyiladi. Yana (1) formuladan ko‘rinadiki t -taqsimot noma’lum parametrlar  a  va 
2
σ
 larga bog‘liq bo‘lmasdan, faqatgina tanlanma hajmi  n  orqali aniqlanadi. 
Shuning uchun ham bu taqsimot matematik statistikaning amaliy masalalarida juda 
muhim rol o‘ynaydi va matematik statistika bo‘yicha yozilgan kitoblarda 
( )
,
S x n  
funksiyaning qiymatlari jadvali keltirilgan. 
 
Endi Styudent taqsimotining statistik gipotezalarni tekshirish masalalariga 
tadbiqi haqida to‘xtaymiz. Ko‘p amaliy tadqiqotlarda ikkita taqsimotning o‘rta 
qiymatlari tengligi haqidagi statistik gipotezalarni tekshirish kerak bo‘ladi. 
Aytilgan fikrni statistik masala ko‘rinishida umumiy holatda keltiramiz. 
 Faraz 
qilaylik, 
X  va Y  tasodifiy miqdorlar normal taqsimotga ega bo‘lsin. 
O‘z navbatida 
1
1
2
,
,...,
n
X X
X  va 
2
1
2
, ,...,
n
Y Y
Y  
tanlanmalar mos ravishda  X  va Y  bosh to‘plamlardan olingan bo‘lsin. Bu 
tanlanmalar asosida 
0
:
H EX
EY
=
 va unga alternativ bo‘lgan 
1
:
H EX
EY
≠
 
(
0
EX
EY
−
> ) gipotezalarni tekshirish masalasini ko‘ramiz. 
 Noma’lum 
miqdorlar 
EX  va  EY  lar uchun 
1
1
1
...
,
n
X
X
X
n
+ +
=
  
2
1
2
...
n
Y
Y
Y
n
+ +
=
 
statistikalar eng yaxshi baho bo‘ladi.  X  va Y  miqdorlarning dispersiyalari uchun  
2
2
2
X
Y
DX
DY
σ
σ
σ
=
=
=
=
     
(2) 
shartni qabul qilamiz va bu yerda 
2
σ
 ni noma’lum parametr deb hisoblaymiz 
(keyingi mulohazalar ko‘rsatadiki, (2) tenglik deyarli umumiylikni 
chegaralamaydi). Oldingi paragraflarda keltirilgan natijalardan kelib chiqadiki 
(
)
1
2
2
1
1
1
,
1
n
X
i
i
S
X
X
n
=
=
−
−
∑
   
(
)
2
2
2
1
2
1
1
n
Y
i
i
S
Y Y
n
=
=
−
−
∑
 
statistikalar mos ravishda 
(
)
1
1
2
,
,...,
n
X X
X
 va 
(
)
2
1
2
, ,...,
n
Y Y
Y
 tanlanmalar bo‘yicha 
2
σ
 uchun siljimagan baholar bo‘ladi. Lekin  X  va Y  bosh to‘plamlar umumiy 
dispersiya 
2
σ
 ga ega bo‘lganlari uchun noma’lum 
2
σ
 ni baholashda har ikki 

 199
tanlanmadan foydalanish maqsadga muvofiq bo‘ladi. Qiyin bo‘lmagan 
mulohazalar ko‘rsatadiki  
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
,
1
2
1
1
2
X
Y
X Y
S n
S n
S
n
n
− +
−
=
+
−
 
statistika 
2
σ
 uchun eng yaxshi baho bo‘ladi (siljimagan, eng kichik dispersiyaga 
ega bo‘lgan statistik baho). 
 Agar 
0
H  gipoteza o‘rinli bo‘lsa,  X Y
−  tasodifiy miqdor o‘rta qiymati 0 va 
dispersiyasi 
2
1
2
1
1
n
n
σ
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
  bo‘lgan normal taqsimotga ega bo‘ladi. Haqiqat ham 
(
)
0,
E X Y
E X
EY
−
=
−
=  
(
) ( ) ( )
2
2
2
1
2
1
2
1
1
.
D X Y
D X
D Y
n
n
n
n
σ
σ
σ
⎛
⎞
−
=
+
=
+
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
 
Bevosita hisoblash yo‘li bilan quyidagi tengliklarni to‘g‘ri ekanligiga ishonch hosil 
qilamiz: 
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
,
,
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
X
Y
X Y
X Y
S n
S n
E
S
ES
E
n
n
n
n
n
n
n
n
⎡
⎤
⎡
⎤
− +
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
+
=
+
=
+
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+
−
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎣
⎦
⎣
⎦
 
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
X
Y
n
ES
n
ES
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
σ
σ
−
+
−
−
+
−
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
=
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
+
−
+
−
⎝
⎠
⎝
⎠
 
2
1
2
1
1
.
n
n
σ
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
 
Demak  X Y
−  tasodifiy miqdorning dispersiyasi 
(
)
D X Y
−
 uchun 
(
)
2
2
,
1
2
1
1
X Y
X Y
S
S
n
n
−
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
 
statistika yaxshi baho sifatida qabul qilinishi mumkin ekan. Aytib o‘tilganlardan 
kelib chiqadiki 
(
)
2
X Y
X Y E X Y
t
S
−
− −
−
=
 

 200
statistika (tasodifiy miqdor) ozodlik darajasi 
1
2
2
k n
n
= +
−  bo‘lgan Styudent 
taqsimotiga ega bo‘lar ekan. 
 Agar 
0
H  gipoteza o‘rinli bo‘lsa, t  statistikani 
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
X
Y
X Y
t
n
S
n
S
n
n
n
n
−
=
−
+
−
⎛
⎞
+
⋅
⎜
⎟
+
−
⎝
⎠
 
   
(3) 
ko‘rinishida yozish mumkin. Aytib o‘tilgan fikrlarni umumlashtirib, quyidagi 
teoremaning o‘rinli ekanligiga ishonch hosil qilamiz.