Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat universiteti pedagogika fakulteti boshlangʻich ta’lim yoʻnalishi 1-bosqich 220-guruh talabasi qahhorova zulfiya boshlangʻich matematika kursi nazariyasi fanidan

OʻZBEKISTON RESPUBLIKASI

OLIY VA OʻRTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

TERMIZ DAVLAT UNIVERSITETI

PEDAGOGIKA FAKULTETI BOSHLANGʻICH TA’LIM YOʻNALISHI 1-BOSQICH 220-GURUH TALABASI QAHHOROVA ZULFIYA

BOSHLANGʻICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI FANIDAN

MUSTAQIL ISH

Mavzu: Sonli toʻplamlar haqida ma’lumot

Tayyorladi: _______________

Qabul qildi: _______________

Termiz 2020

Mavzu: Sonli toʻplamlar haqida ma’lumot

Reja:

1. Sonli toʻplam haqida tushuncha

2. Cheksiz o`nli kasrlar va haqiqiy sonlar

3. Haqiqiy sonlar ustida arifmetik amallar

4. Haqiqiy sonning moduli va uning asosiy xossalari

5. Haqiqiy sonning butun va kasr qismi
1. To‘plam haqida tushuncha. To‘plam tushunchasi mate-matikaning boshlang‘ich (ta’riflanmaydigan) tushunchalaridan biridir. U chekli yoki cheksiz ko‘p obyektlar (narsalar, buyumlar, shaxslar va h.k.) ni birgalikda bir butun deb qarash natijasida vujudga keladi.

Masalan, O‘zbekistondagi viloyatlar to‘plami; viloyatdagi akademik litseylar to‘plami; butun sonlar to‘plami; to‘g‘ri chiziq kesmasidagi nuqtalar to‘plami; sinfdagi o‘quvchilar to‘plami va hokazo. To‘plamni tashkil etgan obyektlar uning elementlari de-yiladi.

To‘plamlar odatda lotin alifbosining bosh harilari bilan, uning elementlari esa shu alifboning kichik harflari bilan belgilanadi. Masalan, A = {a, b, c, d) yozuvi A to‘plam a, b, c, d ele-mentlardan tashkil topganligini bildiradi.

x element X to‘plamga tegishli ekanligi x el ko‘rinishda, tegishli emasligi esa x gX ko‘rinishda belgilanadi.

Masalan, barcha natural sonlar to‘plami TV va 4, 5, |, %

sonlari uchun 4eN, 5eN, \<£N,%N munosabatlar o‘rinli.

Biz, asosan, yuqorida ko‘rsatUganidek buyumlar, narsalar to‘plamlari bilan emas, balki sonh to‘plamlar bilan shug‘ullanamiz. Sonli to‘plam deyilganda, barcha elementlari sonlardan iborat bo‘lgan har qanday to‘plam tushuniladi. Bunga N~ natural sonlar to‘plami, Z-butun sonlar to‘plami, Q-ratsional sonlar to‘plami, R - haqiqiy sonlar to‘plami misol bo‘la oladi.

To‘plam o‘z elementlarining to‘liq ro‘yxatini ko‘rsatish yoki shu to‘plamga tegishli bo‘lgan elementlargina qanoatlantiradigan shartlar sistemasini berish bilan to‘liq aniqlanishi mumkin. To‘plamga tegishli bo‘lgan elementlargina qanoatlantiradigan shartlar sistemasi shu to‘plamning xarakteristik xossasi deb ataladi.

Barcha x elementlari biror b xossaga ega bo‘lgan to‘plam X = {x\b(x)} kabi yoziladi. Masalan, ratsional sonlar to‘plamini

Q = {r\ r = £, peZ,qeN} ko‘rinishda, ax² + bx+ c = 0 kvadrat

tenglama ildizlari to‘plamini esa X= {x \ ax² + bx + с = 0} ko‘rinishda yozish mumkin.

Elementlari soniga bog‘liq holda to‘plamlar chekli va cheksiz to‘plamlarga ajratiladi. Elementlari soni chekli bo‘lgan to‘plam chekli to ‘plant, elementlari soni cheksiz bo‘lgan to‘plam cheksiz to‘plant deyiladi.

1- m i s о 1. A = {x | x e N, x² > 7} to‘plam 2 dan katta bo‘lgan
barcha natural sonlardan tuzilgan, ya’ni A={3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, ...}. Bu to‘plam - cheksiz to‘plamdir.

Birorta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plam bo ‘sh to‘plant deyiladi. Bo‘sh to‘plam 0 orqali belgilanadi. Bo‘sh to‘plam ham chekli to‘plam hisoblanadi.

2- m i s о 1. x² + 3x + 2 = 0 tenglamaning ildizlari X= {-2;
-1} chekli to‘plamni tashkil etadi. x² + 3x+ 3 = 0 tenglama esa
haqiqiy ildizlarga ega emas, ya’ni uning haqiqiy yechimlar to‘plami
0dir.

Ayni bir xil elementlardan tuzUgan to‘plamlar teng to‘plamlar deyuadi.

3-misol. X={x\xeN, x < 3} va Y={x\(x-l)(x-2)(x--3) = 0} to‘plamlarning har biri faqat 1, 2, 3 sonlaridan tu­zUgan. Shuning uchun bu to‘plamlar tengdir: X= Y.

Agar В to‘plamning har bir elementi A to‘plamning ham elementi bo‘lsa, В to‘plam A to‘plamning qism-to ‘plami deyi­ladi va^ci ko‘rinishida belgilanadi. Bunda 0civaici hisoblanadi. Bu qism-to‘plamlar xosmas qism-to‘plamlar deyiladi. A to‘plamning qolgan barcha qism-to‘plamlari xos qism-to ‘plamlar deyiladi. Masalan: N^Z^Q^R. Agar Л = {3, 4, 5}, В = {x \x² - Ix + 12 = 0} bo‘lsa, B^A bo‘ladi.

4-misol. Л-ikki xonali sonlar to‘plami, 5-ikki xonali juft sonlar to‘plami bo‘lsin. Har bir ikki xonali juft son A to‘plamda ham mavjud. Demak, Sci

A = В bo‘lsa, А с В, В с A va aksincha, A^B, B^A bo‘lsa, А = В bo‘lishini tushunish qiyin emas.

5-misol. A = {1,2,3,4}, В = {1, |, yJ9 , 2²} bo‘lsa,

В = {1, |, л/9, 2²} = {1, 2, 3, 4} = Л. Bundan ko‘rinadiki, Ac:B,

BczA bo‘ladL

X chekli to‘plam elementlari sonini n(X) orqali belgilaymiz. к ta elementli X to‘plamni A: elementli to‘plant deb ataymiz.

6- m i s о 1. X to‘plam 10 dan kichik tub sonlar to‘plami bo‘lsin:

X= {2; 3; 5; 7}. Demak, n(X) = 4.

1. Cheksiz o`nli kasrlar va haqiqiy sonlar
Matematikaning asosiy tushunchalaridan biri son tushunchasi hisoblanadi. Son haqidagi tushuncha qadimda paydo bo`lib, uzoq vaqt davomida kengaytirilib va umumlashtirib borilgan. Eng avval sanashda ishlatiladigan sonlar: 1, 2, 3, … n … hosil bo`lgan, bu sonlar natural sonlar deyiladi. Natural sonlar to`plami N bilan belgilanadi: N= {1, 2, … n …}. Eng kichik natural son 1, eng kattasi mavjud emas. Har bir natu-ral sondan keyin ma`lum bitta natural son keladi; 3 dan keyin albatta 4 keladi, 100 dan keyin – 101 va hokazo.

Natural sonlar to`plami ustida faqat ikkita amal: qo`shish va ko`paytirish bajariladi. Agar bo`lsa, bo`ladi.

Natural sonlarga 0 ni va hamma butun manfiy sonlarni qo`shsak, sonlarning yangi to`plami – butun sonlar to`plami hosil bo`ladi, uni Z bilan belgilash qabul qilingan; Z={…, -2, -1, 0, 1, 2, …}. Butun sonlar ustida qo`shish, ko`paytirish amallaridan tashqari ayirish amali ham bajariladi, haqiqatda agar bo`lsa, .Bundan bo`ladi. Butun sonlar hosil qilinishidan ekanligi kelib chiqadi.

Endi ko`rinishdagi kasrlarni, oddiy kasr ham deyiladi, ko`rib chiqamiz. ixtiyoriy butun qiymatni, q ixtiyoriy natural qiymatni qabul qilganda hosil qiladigan sonlar to`plamiga ratsional sonlar to`p-lami deyiladi va bilan belgilanadi: , ustida to`rt amal: qo`shish, ayirish, ko`paytirish va bo`lish bajariladi. Natural sonlar va butun sonlar ratsional sonlar to`plamiga qism to`plam bo`ladi, ya`ni .

Ratsional sonlarning ba`zi xossalarini keltiramiz:

1. dan kelib chiqadi. hamma vaqt bajariladi.

bo`lib bo`lsa, bo`ladi.

3. va bo`lsa va bo`ladi.

1-ta`rif. va kasrlar o`zaro teskari kasrlar deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, ko`paytmasi 1 ga teng bo`lgan kasrlar o`zaro teskari kasrlar deyiladi. o`zaro teskari kasrlar, chunki Shunga o`xshash, bo`lgani uchun ular o`zaro teskari sonlardir.

2-ta`rif. Agar kasrning surati maxrajidan katta yoki teng bo`lsa, kasr noto`g`ri kasr deyiladi. Bu holda suratni maxrajga bo`lib noto`g`ri kasrni butun son va to`g`ri kasr (surat maxrajdan kichik) yig`indisi ko`ri-nishida tasvirlash mumkin: noto`g`ri kasr, suratni maxrajga bo`lsak, 27:4=6(3 qoldiq) hosil bo`ladi, shuning uchun hosil bo`ladi. Boshqa misol

Butun va to`g`ri kasr yig`indisidan iborat son aralash son deyiladi. Uni noto`g`ri kasrga aylantirish uchun butun maxrajga ko`paytiriladi, ko`paytma suratga qo`shiladi. Hosil bo`lgan son noto`g`ri kasrning surati bo`ladi, maxraj o`zgarmaydi.

3-ta`rif. Agar kasrning maxraji 10<sup>n</sup> dan iborat bo`lsa, o`nli kasr deyiladi. Bu holda suratni maxrajga bo`lish yakunlanadi.

Kasrning suratini maxrajga bo`lganda, bo`lish chekli (yakunlanadi) yoki cheksiz (yakunlanmaydi) bo`lishi mumkin. Birinchi holatda chekli o`nli kasr hosil bo`ladi, ikkinchi holatda cheksiz o`nli kasr hosil bo`ladi. Umuman olganda, agar kasrning maxraji ko`rinishida bo`lsa, bu kasr chekli o`nli kasr ko`rinishida tasvirlanadi, bu yerda n, k=0,1,2,…

Haqiqatda, bo`lsin. Faraz qilaylik, n>k va n=k+m bo`lsin. Kasr surat va maxrajini 5^m ga ko`paytiramiz va ni hosil qilamiz, bu esa o`nli kasrdir.

Agar kasr maxraji 2 va 5 dan tashqari boshqa tub bo`luvchiga ega bo`lsa, kasrni chekli o`nli kasr ko`rinishida tasvirlab bo`lmaydi. Bu hol-da cheksiz o`nli davriy kasr hosil bo`ladi:

Chekli o`nli kasrni davri 0 yoki 9 bo`lgan cheksiz o`nli kasrlar ko`rinishida yozish mumkin.

Aytilganlardan kelib chiqqan holda, ratsional sonlarga quyidagicha ta`rif berish mumkin.

4-ta`rif. Cheksiz davriy o`nli kasrlar ratsional sonlar to`plamiga kiradi.

5-ta`rif. Davriy bo`lmagan cheksiz o`nli kasrlar irratsional sonlar to`plamini tashkil etadi.

Ratsional va irratsional sonlar (ya`ni cheksiz davriy va davriy bo`l-magan o`nli kasrlar) haqiqiy sonlar deyiladi va R bilan belgilanadi. Ta`rifdan kelib chiqadi, bundan esa hosil bo`ladi. Haqiqiy sonlarni sonlar o`qida tasvirlaydigan bo`lsak, har bir haqiqiy songa o`qda bitta nuqta mos keladi va aksincha, sonlar o`qidagi har bir nuqtaga faqat bitta haqiqiy son mos keladi. Demak, haqiqiy sonlar bilan sonlar o`qidagi nuqtalar orasida o`zaro bir qiymatli mos kelish mavjud bo`lib, “Haqiqiy son” o`rniga “nuqta” ni ishlatish imkonini beradi.

Mashqlar
41. 5 dan katta natural sonlar to`plamini yozing.

4 Hamma juft natural sonlar to`plamini yozing.

43. 100 gacha bo`lgan 3 ga karrali natural sonlarning yig`indisini toping.

44. 4 ga karrali va 100 dan kichik natural sonlarning yig`indisini toping.

45. dan katta, birdan kichik va maxraji 31 bo`lgan kasrlar to`p-lamini yozing.

46. dan katta, birdan kichik va maxraji 26 bo`lgan kasrlar to`p-lamini yozing.

47. Maxraji 18 bo`lgan to`g`ri qisqarmaydigan kasrlar to`plamini yozing.

48. Maxraji 24 bo`lgan to`g`ri qisqarmas kasrlar to`plamini yozing.

Berilgan sonlarga teskari sonlarni yozing:
49. 1) -5; 2) 3; 3) ; 4) .

50. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Quyidagi juftliklardan o`zaro teskari sonlarni aniqlang.

51. 1) 2) 3) 4)

5 1) 2) 3) 4)

Quyidagi kasrlardan qaysilari chekli o`nli kasr bo`ladi.

53. 1) 2) 3) 4)

54. 1) 2) 3) 4)

Quyidagi kasrlarni chekli yoki cheksiz o`nli kasr shaklida yozing.

55. 1) 2) 3) 4)

56. 1) 2) 3) 4)