O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat pedagogika instituti matematika va uni o’qitish metodikasi kafedrasi algebra va sonlar nazariyasi fanidan mustaqil ta’lim topshiriqlari to’plami

Misollap.
1). ₁ =1+i, bo‘lsa ₁₂ va ₁ /₂ larni trigonometrik ko‘rinishga keltirishdan foydalanib hisoblang.
a₁=1, b₁=1 ; a₂=1 , b₂= ;
r₁= ; r₂= ;
₁ = arctg ; ₂ = arctg

Demak,



2). Agar = 1+i bo‘lsa³ =?
Oldingi misoldagiga asosan: = 2(cos +i sin ) . Shuning uchun ham(2) dan

8.  =-1+i va =-1-i sonlarini geometrik tasvirlang va trigonometrik ko‘rinishga keltiring.

9. M={1, -1, i, -i } bo‘lsa, u holda M=< M; > - algebraning gruppa bo‘li-shini isbotlang. < M; + , > - algebra halqa bo‘ladimi?

10. Agar x va y lar haqiqiy sonlar bo‘lsa, ushbu tenglamani yeching:

3x+5yi +2= -2x +(3y +1)i .


Topshiriqlar.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11.
12.
13.
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. (4+i)(5+3i)-(3+i)(3-i).
24.
25.
26.
27.
28.
29. (2+i)³+(2-i)³.
30. (3+i)³-(3-i)³.


Mavzu: Matritsalar va ular ustida amallar
Matritsa tushunchasi bilan chiziqli tenglamalar sistemasini o‘rganishda ozgina tanishib o‘tgan edik. Endi shu tushunchani kengroq o‘rganaylik.
Ta’rif. F maydonning mn ta a_ij(i= ,j= ) elementlaridan tuzilgan ushbu

ko‘rinishdagi jadval F maydon ustidagi matritsa deyiladi. Matritsani lotin alifbosidagi A,B,C,... harflar orqali belgilanadi. a_ij lar matritsaning elementlari deyiladi.
Matritsa elementlarining gorizontal qatori matritsaning satrlari (yo‘llari), vertikal qatorlari esa matritsaning ustunlari deyiladi.
m ta satrli, n ta ustunli a_ij elementlardan tashkil topgan A matritsani
A_mn=
ko‘rinishda belgilanadi. Bunda m>n, m=n, m n_n matritsani n-tartibli kvadrat matritsa deyiladi. mn bo‘lsa, u holda bunday A_mn matritsani to‘g‘ri burchakli matritsa deyiladi. A_mn matritsani mn tartibli (turli) matritsa deb ham yuritiladi.
Satrlar soni va ustunlar soni mos ravishda bir xil bo‘lgan matritsalarga nomdosh matritsalar deb yuritiladi.
Ta’rif. A matritsaning har bir a_ij elementi V matritsaning unga mos b_ij elementiga teng bo‘lsa u holda bunday A va V nomdosh matritsalarga teng deyiladi va u A=V ko‘rinishda belgilanadi.
Faqat nomdosh matritsalargina teng bo‘lishi mumkin. Demak, i va j lar uchun a_ijb_ij bo‘lsa, u holda A va B matritsalar teng bo‘lmaydi va u AV ko‘rinishda belgilanadi. Nomdosh bo‘lmagan matritsalar umuman teng emas.
A_mn matritsani ||a_ij||_mn, (a_ij)_mn, [a_ij]_mn ko‘rinishlarda ham belgilanadi.
A_mn matritsaning satri m ta n-o‘lchovli gorizontal
(1)
vektorlarni, ustunlari n ta m-o‘lchovli vertikal
(2)
vektorlarni tashkil etadi.
Ta’rif. Barcha elementlari nollardan iborat matritsani nol’ matritsa deyiladi va uni 0 orqali belgilanadi.
Kvadrat matritsada a₁₁,a₂₂,...,a_nn elementlar matritsaning birinchi (bosh) dioganal elementlari, a_1n,a_2n-1,...,a_m1 elementlari esa uning ikkinchi dioganal elementlari deyiladi.
Ta’rif. Bosh dioganal elementlari 1 lardan, qolgan elementlari nollardan iborat kvadrat matritsaga birlik matritsa deyiladi va uni e orqali belgilanadi.
Ta’rifga ko‘ra

bo‘ladi.
Matritsa ustida elementar almashtirishlar, matritsaning rangi kabi tushunchalar bilan biz oldin tanishgan edik.
Endi matritsalar ustida amallar va ularning xossalari bilan tanishaylik.
A_mn=[a_ij]_mn va V_mn=[b_ij]_mn matritsalarning yig‘indisi deb S_mn=[s_ij=a_ij+b_ij]_mn matritsaga aytiladi.
A_mn=[a_ij]_mn matritsaning  songa ko‘paytmasi deb V_mn=A_mn=[b_ij=a_ij]_mn matritsaga aytiladi.
Bunda F. Agar =-1 bo‘lsa, u holda (-1)A_mn=-A_mn bo‘lib, A_mn+(-1)A_mn=A_mn-A_mn =0 bo‘ladi.
-A_mn matritsa A_mn matritsaga qarama-qarshi matritsa deyiladi.
A_mn va V_nr matritsalar ko‘paytmasi deb
S_mr=[s_ij= a_i1b_1j+ a_i2b_2j++ a_inb_np]_mp
matritsaga aytiladi.
Matritsalar ustida ko‘paytirish amali kommutativ emas, ya’ni AVAV bo‘ladi.
Ta’rif. A_mn matritsaning barcha satrlarini mos ravishda ustun qilib yozishdan hosil bo‘lgan V_nm matritsaga A_mn matritsaga transponirlangan matritsa deyiladi va V_nm=^tA_mn ko‘rinishda belgilanadi.
Xususiy holda (^tA)ⁱ=^t[a_i1 a_i2 a_in]= (^tA)_k= =[a_1k a_2k a_mk] bo‘ladi.
Ta’rif. Nolmas satrlarga ega bo‘lgan A matritsada har qanday k nolmas satrning birinchi noldan farqli elementi (k-1)-nolmas satrning birinchi nolmas elementidan o‘ngda tursa u holda A matritsaga pog‘onali matritsa deyiladi.
Misol. 1.

matritsalar uchun A+B, A-B, 2A, AB, A matritsaga transponirlangan matritsalar topilsin.




2. matritsalar pog‘onali matritsalardir.
Misol. Agar , bo‘lsaA² – 2VA + Anihisoblang.
Yechish.