Oʻzbekiston respublikasi оliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti

Kalit so‘zlar: Fok fazosi, umumlashgan Fridrixs modeli, xos qiymat, nol energiyali rezonans, mus-
bat operator. 
Ключевые слова: пространство Фока, обобщенная модель Фридрихса, собственное значе-
ние, резонанс с нулевой энергией, положительный оператор. 
Key words: Fock space, generalized Friedrichs model, eigenvalue, zero energy rezonance, positive 
operator. 
Masalaning qo‘yilishi. Ma’lumki, kvant mexanikasi, statistik mexanika va gidrodinamikaning 
ko‘plab masalalari umumlashgan Fridrixs modeli [1] deb ataluvchi operatorning spektral xossalarini o‘r-
ganish masalasiga keltiriladi. [1] maqolada uzluksiz spektrda yotuvchi “maxsus” nuqtalar atrofida Fred-
golm determinantining tarmoqlanishi va maxsusliklari o‘rganilgan. Bundan tashqari, rezonanslar va ular-
ning xos qiymatlar bilan bog‘lanishlari tahlil qilingan. Umumlashgan Fridrixs modelining spektral xossa-
laridan foydalanib, uchinchi tartibli operatorli matrisalarning muhim va diskret spektrlarini tadqiq qilish 
masalasi ko‘
plab ishlarda (masalan, 2‒4) o‘rganilgan. 
Mazkur maqolada 
ℎ(𝑘), 𝑘 ∈ 𝕋
3
umumlashgan Fridrixs modellari oilasi uch o‘lchamli panjaradagi 
soni saqlanmaydigan va ikkitadan oshmaydigan zarrachalar sistemasiga mos model sifatida qaraladi. 
Bunda 
𝜀(⋅) dispersiya funksiyasi
𝜀(𝑞) = �
3
𝑖=1
(1 − cos(𝑛𝑞
(𝑖)
)), 𝑞 = (𝑞
(1)
, 𝑞
(2)
, 𝑞
(3)
) ∈ 𝕋
3
, 𝑛 ∈ ℕ 
kabi maxsus ko‘rinishga ega hol tadqiq qilinadi. 
𝕋
3
to‘plamning shunday 
Λ chekli qism to‘plami 
topilib, 
ℎ(0) ≡ ℎ(𝑘), 𝑘 ∈ Λ munosabat bajarilishi ko‘rsatilgan. ℎ(0) operator uchun 𝑧 = 0 soni (muhim 
spektrning quyi chegarasi) xos qiymat yoki 
ℎ(0) operator nol energiyali rezonansga ega bo‘lish shartlari 
aniqlangan. Umumlashgan Fridrixs modellari oilasi uchun musbatlik shartlari topilgan. 
𝕋
3
–uch o‘lchamli tor, 
ℂ‒kompleks sonlar maydoni bo‘lsin. 𝐿
2
(𝕋
3
) orqali 𝕋
3
da aniqlangan kvad-
rati bilan integrallanuvchi (kompleks qiymatli) funksiyalarning Gilbert fazosini belgilaymiz. 
ℋ sifatida 
ℋ
1
= ℂ va ℋ
1
= 𝐿
2
(𝕋
3
) fazolarning to‘g‘ri yig‘indisini qaraymiz, ya’ni, ℋ = ℋ
0
⊕ ℋ
1
. ℋ
0
va 
ℋ
1
fa-
zolar, mos ravishda, 
𝐿
2
(𝕋
3
) ustiga qurilgan ℱ
s
(𝐿
2
(𝕋
3
)) bozonli Fok fazosining nol zarrachali va bir zar-
rachali qism fazolari deb ataladi. 
ℋ fazodan olingan ixtiyoriy 𝑓 = (𝑓
0
, 𝑓
2
) va 𝑔 = (𝑔
0
, 𝑔
2
) elementlar uchun ularning skalar ko‘-
paytmasi 
(𝑓, 𝑔) = (𝑓
0
, 𝑔
0
)
0
+ (𝑓
1
, 𝑔
1
)
1
tenglik yordamida aniqlanadi, bunda 
(𝑓
0
, 𝑔
0
)
0
= 𝑓
0
∙ 𝑔
0
���, (𝑓
1
, 𝑔
1
)
1
= � 𝑓
1
(𝑡)
𝕋
3
𝑔
1
(𝑡)
�������𝑑𝑡. 
Operatorlarning spektral nazariyasidan bizga yaxshi ma’lumki, 
ℋ fazosida aniqlangan har qanday 
chiziqli chegaralangan operator hamisha ikkinchi tartibli operatorli matritsa ko‘rinishida tasvirlanadi [5]. 
ℋ fazoda quyidagi o‘z-o‘ziga qo‘shma chegaralangan operatorlar oilasi (umumlashgan Fridrixs modeli) 
ℎ(𝑘), 𝑘 ∈ 𝕋
3
ni qaraymiz:
ℎ(𝑘) = �ℎ
00
(𝑘) ℎ
01
ℎ
01
∗
ℎ
11
(𝑘)�,
bu yerda
ℎ
00
(𝑘)𝑓
0
= (𝑙
2
𝜀(𝑘) + 1)𝑓
0
, ℎ
01
𝑓
1
= �
𝕋
3
𝑣(𝑡)𝑓
1
(𝑡)𝑑𝑡, 
(ℎ
11
(𝑘)𝑓
1
)(𝑞) = 𝐸
𝑘
(𝑞)𝑓
1
(𝑞), 𝐸
𝑘
(𝑞): = 𝑙
1
𝜀(𝑞) + 𝑙
2
𝜀(𝑘 − 𝑞), 

---

13 
𝑙
1
va 
𝑙
2
musbat haqiqiy sonlar, 
𝑓
𝑖
∈ ℋ
𝑖
, 𝑖 = 0,1; 𝑣(⋅) funksiya 𝕋
3
da aniqlangan haqiqiy qiymatli 
chegaralangan funksiya, 
ℎ
01
∗
operator esa 
ℎ
01
operatorga qo‘shma operator. 
𝜀(⋅) funksiya quyidagicha 
aniqlangan:
𝜀(𝑞) = �
3
𝑖=1
(1 − cos(𝑛𝑞
(𝑖)
)), 𝑞 = (𝑞
(1)
, 𝑞
(2)
, 𝑞
(3)
) ∈ 𝕋
3
, 𝑛 ∈ ℕ. 
Mazkur maqola davomida 
𝑣(⋅) funksiya har bir o‘zgaruvchisi bo‘yicha yoki juft yoki toq, bundan 
tashqari, 
𝑣(⋅) funksiya 𝕋
3
da juft va barcha ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin deb 
faraz qilamiz.
Ta’kidlash joizki, 
ℎ
01
va 
ℎ
01
∗
operatorlar, mos ravishda, yo‘qotish va paydo qilish operatorlari deb 
ataladi.