Oʻzbekiston respublikasi оliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti

Umumlashgan Fridrixs modellari oilasining musbatligi. 
𝕋
3
to‘plamning quyidagi 
Λ qism to‘p-
lamini qaraylik, 
Λ: = �(𝑝
(1)
, 𝑝
(2)
, 𝑝
(3)
): 𝑝
(𝑖)
∈ �0, ±
2
𝑛
𝜋; ±
4
𝑛
𝜋; … ; ±
𝑛′
𝑛
𝜋� ∪ Π
𝑛
, 𝑖 = 1,2,3�, 
bu yerda
𝑛′: = �𝑛 − 2, 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑛 𝑗𝑢𝑓𝑡 𝑏𝑜‘𝑙𝑠𝑎,
𝑛 − 1, 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑛 𝑡𝑜𝑞 𝑏𝑜‘𝑙𝑠𝑎
va 
Π
𝑛
: = �
{𝜋}, 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑛 𝑗𝑢𝑓𝑡 𝑏𝑜‘𝑙𝑠𝑎,
∅, 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑛 𝑡𝑜𝑞 𝑏𝑜‘𝑙𝑠𝑎 
 
Sodda hisoblashlar yordamida 
Λ to‘plam 𝑛
3
ta elementdan iborat ekanligini ko‘rsatish mumkin. 
𝐶(𝕋
3
) va 𝐿
1
(𝕋
3
) orqali, mos ravishda, 𝕋
3
da aniqlangan uzluksiz va integrallanuvchi funksiyalar-
ning Banax fazolarini belgilaymiz. 
1-ta’rif.  Agar 1 soni
(𝐺𝜓)(𝑞) =
𝑣(𝑞)
(𝑙
1
+ 𝑙
2
) �
𝕋
3
𝑣(𝑡)𝜓(𝑡)
𝜀(𝑡) 𝑑𝑡, 𝜓 ∈ 𝐶(𝕋
3
) 
integral operator uchun xos qiymat bo‘lsa va hech bo‘lmaganda, bitta (o‘zgarmas son aniqligida) 
𝜓 xos funksiya biror 𝑝′ ∈ Λ uchun 𝜓(𝑝′) ≠ 0 munosabatni qanoatlantirsa, u holda ℎ(0) operator nol 
energiyali rezonansga ega deyiladi. 
1-ta’rifdan ko‘rish mumkinki, 1 soni 
𝐺 operator uchun xos qiymat bo‘lishi ℎ(0)𝑓 = 0 tenglama 
nolmas yechimga ega bo‘lishi bilan bog‘liq, biror 
𝑝′ ∈ Λ uchun 𝜓(𝑝′) ≠ 0 munosabat o‘rinli bo‘liganligi 
uchun bu tenglamaning 
𝑓 yechimi ℋ fazoga tegishli bo‘lmaydi. Aniqroq qilib aytadigan bo‘lsak, agar 
ℎ(0) operator nol energiyali rezonanasga ega bo‘lsa, u holda 𝐺𝜓 = 𝜓 tenglamaning yechimi 𝜓(⋅) funk-
siya o‘zgarmas son aniqligida 
𝑣(⋅) funksiyaga teng bo‘ladi hamda koordinatalari
𝑓
0
= c𝑜𝑛𝑠𝑡 ≠ 0, 𝑓
1
(𝑞) = −
𝑣(𝑞)𝑓
0
(𝑙
1
+ 𝑙
2
)𝜀(𝑞)
bo‘lgan 
𝑓 = (𝑓
0
, 𝑓
1
) vektor-funksiya ℎ(0)𝑓 = 0 tenglikni qanoatlantiradi, bundan tashqari, 
𝑓
1
∈ 𝐿
1
(𝕋
3
)\𝐿
2
(𝕋
3
) bo‘ladi. Agar ℎ(0) operator uchun nol soni xos qiymat bo‘lsa, u holda 𝑓 = (𝑓
0
, 𝑓
1
) 
vektor-funksiya 
ℎ(0)𝑓 = 0 tenglikni qanoatlantiradi va 𝑓
1
∈ 𝐿
2
(𝕋
3
) bo‘ladi. 
Chekli o‘lchamli qo‘zg‘alishlarda muhim spektrning o‘zgarmasligi haqidagi Veyl teoremasiga [6] 
ko‘ra, 
ℎ(𝑘) operatorning muhim spektri uchun quyidagi 
𝜎
ess
(ℎ(𝑘)) = [𝐸
min
(𝑘); 𝐸
max
(𝑘)] 
tenglik o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish mumkin. Bu yerda
𝐸
min
(𝑘): = min
𝑞∈𝕋
3
𝐸
𝑘
(𝑞) va 𝐸
max
(𝑘): = max
𝑞∈𝕋
3
𝐸
𝑘
(𝑞). 
Har bir tayinlangan 
𝑘 ∈ 𝕋
3
nuqta uchun 
ℂ\[𝐸
min
(𝑘); 𝐸
max
(𝑘)] sohada analitik bo‘lgan
Δ(𝑘; 𝑧): = 𝑙
2
𝜀(𝑘) + 1 − 𝑧 − �
𝕋
3
𝑣
2
(𝑠)𝑑𝑠
𝐸
𝑘
(𝑠) − 𝑧.
funksiyani aniqlaymiz. Odatda, bu funksiya 
ℎ(𝑘), 𝑘 ∈ 𝕋
3
operatorga mos Fredgolm determinanti 
deb ataladi. 
Quyidagi lemma [4] Birman-Shvinger prinsipi va Fredgolm teoremasini qo‘llash yordamida hosil 
qilinadi.