Oʻzbekiston respublikasi оliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti
Download 377.47 Kb. Pdf ko'rish
|
Ilm sarchashmalari
|
1-lemma. Har bir tayinlangan
𝑘 ∈ 𝕋 3 uchun ℎ(𝑘) operator 𝑧 ∈ ℂ\[𝐸 min (𝑘); 𝐸 max (𝑘)] xos qiy- matga ega bo‘lishi uchun 𝛥(𝑘; 𝑧) = 0 tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarlidir. 14 Har bir tayinlangan 𝑘 ∈ Λ da 𝐸 𝑘 (⋅) funksiya Λ to‘plamning har bir nuqtasida aynimagan minimum- ga ega bo‘lib, bu nuqtadagi qiymati nolga teng va 𝑣(⋅) funksiya 𝕋 3 da uzluksiz bo‘lganligi uchun har bir tayinlangan 𝑘 ∈ 𝕋 3 uchun � 𝕋 3 𝑣 2 (𝑡)𝑑𝑡 𝐸 𝑘 (𝑡) integral musbat va chekli. Integral belgisi ostida limitga o‘tish haqidagi Lebeg teoremasi va Δ(0; 0) = Δ(𝑘; 0) tenglikdan har bir 𝑘 ∈ Λ uchun Δ(0; 0) = lim 𝑘→𝑘 ′ Δ(𝑘; 0), 𝑘′ ∈ Λ munosabat o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi. Quyidagi lemmada ℎ(0) operator muhim spektrining quyi chegarasi bo‘sag‘aviy energiya rezonan- si yoki xos qiymat bo‘lish shartlari tavsiflangan. 2-lemma. (a) nol soni ℎ(0) operatorning (bo‘sag‘aviy) xos qiymati bo‘lishi uchun 𝛥(0; 0) = 0 va barcha 𝑞′ ∈ 𝛬 lar uchun 𝑣(𝑞′) = 0 bo‘lishi zarur va yetarli; (b) ℎ(0) operator nol energiyali rezonansga ega bo‘lishi uchun 𝛥(0; 0) = 0 va biror 𝑞′ ∈ 𝛬 uchun 𝑣(𝑞′) ≠ 0 bo‘lishi zarur va yetarli. Maqolaning asosiy natijasi quidagi teoremada keltirilgan. 1-teorema. Agar ℎ(0) operator nol energiyali rezonansga ega bo‘lsa, yoki nol soni bu operator- ning xos qiymati bo‘lsa, u holda har bir 𝐾 ∈ 𝛬 va 𝑝 ∈ 𝕋 3 nuqtalar uchun ℎ(𝐾 − 𝑝) + 𝑙 1 𝜀(𝑝)𝐼 operator manfiymas bo‘ladi. Isbot. Dastlab, ℎ(𝐾 − 𝑝) + 𝑙 1 𝜀(𝑝)𝐼 operatorga mos Fredgolm determinantining ko‘rinishini topa- miz: 𝛥�𝐾 − 𝑝; 𝑧 − 𝑙 1 𝜀(𝑝)� = 𝑙 1 𝜀(𝑝) + 𝑙 2 𝜀(𝐾 − 𝑝) + 1 − 𝑧 − 𝐼(𝑝; 𝑧), bu yerda 𝐼(𝑝; 𝑧) ≔ � 𝕋 3 𝑣 2 (𝑡)𝑑𝑡 𝑤 𝐾 (p, 𝑡) − z, 𝑤 𝐾 (p, q) ≔ 𝑙 1 𝜀(𝑝) + 𝑙 2 𝜀(𝐾 − 𝑝 − 𝑞) + 𝑙 1 𝜀(𝑝). Aniqlanishiga ko‘ra, har bir tayinlangan 𝐾 ∈ 𝛬 uchun 𝑤 𝐾 (∙,∙) funksiya 𝛬 × 𝛬 to‘plam nuqtalarida aynimagan minimumga ega bo‘lib, min 𝑝,𝑞∈𝕋 3 𝑤 𝐾 (𝑝, 𝑞) = 0, 𝐾 ∈ 𝛬. Bundan tashqari, barcha 𝐾 ∈ 𝛬 va 𝑝, 𝑞 ∈ 𝕋 3 nuqtalar uchun 𝑤 0 (𝑝, 𝑞) = 𝑤 𝐾 (𝑝, 𝑞) tenglik o‘rinlidir. Endi ixtiyoriy 𝑝 ∈ 𝕋 3 \𝛬 nuqtada 𝛥�−𝑝; −𝑙 1 𝜀(𝑝)� > 𝛥(0; 0) ekanligini ko‘rsata- miz. 𝑤 0 (∙,∙) xossalaridan foydalanib, 𝐼(0; 0) = 𝐼(𝑝′; 0), 𝑝′ ∈ 𝛬 tenglikga ega bo‘lamiz. v(∙) va 𝑤 0 (∙,∙) funksiyalar juft bo‘lganligi bois 𝐼(∙; 0) ham juft funksiya bo‘ladi. Shu sababli 𝐼(𝑝; 0) − 𝐼(0; 0) = 1 4 � 𝕋 3 2𝑤 0 (0, 𝑡) − �𝑤 0 (p, 𝑡) + 𝑤 0 (−p, 𝑡)� 𝑤 0 (p, 𝑡)𝑤 0 (−p, 𝑡)𝑤 0 (0, 𝑡) × × [𝑤 0 (p, 𝑡) + 𝑤 0 (−p, 𝑡)]𝑣 2 (𝑡)𝑑𝑡 − 1 4 � 𝕋 3 �𝑤 0 (p, 𝑡) − 𝑤 0 (−p, 𝑡)� 2 𝑤 0 (p, 𝑡)𝑤 0 (−p, 𝑡)𝑤 0 (0, 𝑡) 𝑣 2 (𝑡)𝑑𝑡 tasvir o‘rinlidir. Ushbu 𝑤 0 (0, 𝑡) − 𝑤 0 (𝑝, 𝑡) + 𝑤 0 (−𝑝, 𝑡) 2 = ��cos�𝑛𝑝 (𝑘) � − 1��1 + cos�𝑛𝑡 (𝑘) �� 3 𝑘=1 tenglikga va (1) tasvirga ko‘ra, barcha 𝑝 ∈ 𝕋 3 \𝛬 lar uchun 𝐼(𝑝; 0) < 𝐼(0; 0) munosabat hosil bo‘- ladi. Bu munosabat 𝐼(∙; 0) funksiya 𝛬 to‘plam nuqtalarida maksimumga ega ekanligini bildiradi. Agar ℎ(0) operator nol energiyali rezonansga ega bo‘lsa yoki nol soni ℎ(0) operator uchun xos qiymat bo‘lsa, u holda 2-lemmaga ko‘ra, 𝛥(0; 0) = 0. Shunday qilib, ixtiyoriy 𝑝 ∈ 𝕋 3 nuqta va 𝑧 < 0 so- ni uchun 𝛥�−𝑝; 𝑧 − 𝑙 1 𝜀(𝑝)� > 𝛥�−𝑝; 𝑧 − 𝑙 1 𝜀(𝑝)� ≥ min 𝑝∈𝕋 3 𝛥�−𝑝; 𝑧 − 𝑙 1 𝜀(𝑝)� = 𝛥(0; 0) = 0 tasdiqlar o‘rinli. Oxirgi baholashlarda biz 𝜀(∙) dispersiya funksiyasi 𝛬 to‘plam nuqtalarida mini- mumga erishishidan foydalandik.1-lemmaga ko‘ra, har bir tayinlangan 𝐾 ∈ 𝛬 uchun ℎ(𝐾 − 𝑝) + 𝑙 1 𝜀(𝑝)𝐼, 15 𝑝 ∈ 𝕋 3 operator manfiy xos qiymatlarga ega emas, ya’ni, barcha 𝐾 ∈ 𝛬 va 𝑝 ∈ 𝕋 3 lar uchun ℎ(𝐾 − 𝑝) + 𝑙 1 𝜀(𝑝)𝐼 musbat operator ekan. 1-teorema to‘liq isbotlandi. Isbot qilingan 1-teorema panjaradagi soni saqlanmaydigan va uchtadan oshmaydigan zarrachalar sistemasiga mos uchinchi tartibli operatorli matritsalar oilasining muhim va diskret spektrlarini tadqiq qi- lishda muhim ahamiyatga ega. Download 377.47 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|