O`zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

1-misol. Ushbu

funksiyaning o`suvchi, kamayuvchi bo`lish oraliqlari topilsin.
◄Ravshanki, bo`ladi.
Ushbu tengsizlik da o`rinli bo`ladi. Demak, funksiya da o`suvchi, da kamayuvchi bo`ladi. ►
funksiya itervalda berilgan bo’lib, va bo’lsin.
1–ta’rif.Agar uchun

bo’lsa, funksiya nuqtada qat’iy lokal maksmumga ( lokak minimum-ga ) ega deyiladi. qiymat funksiyaning dagi qat’iy maksimumi (minimumi) deyiladi.
2–ta’rif.Agar uchun

bo’lsa, funksiya nuqtada qat’iy lokal maksmumga ( lokak minimumga) ega deyiladi, qiymat funksiyaning dagi qat’iy maksimumi (minimumi) deyiladi.
Yuqoridagi ta’riflardagi nuqtada funksiyaga mos ravishda maksimum (minumum), qat’iy maksimum (qat’iy minumum) qiymat beradigan nuqta deb ataladi.
Funksiyaning dagi maksimum (minumum) qiymatlari

kabi belgilanadi. Bunda max (min) lotincha maximum (minimum) so’sidan olingan bo’lib, eng katta (eng kichik) degan ma’noni anglatadi.
Funksiyaning maksimum va minimumi umumiy nom bilan uning ekstremumi deb ataladi.
Masalan, funksiya nuqtada maksimumga erishadi. Chunki uchun ya’ni

bo’ladi.
Funksiya hosilalari yordamida uning ekstremumlari hamda funksiyaga ekstremum qiymat beradigan nuqtalar topiladi.
1). Ekstremumning zaruriy sharti. funksiya nuqtada maksimumga (minimumga) erishadi. Ta’rifga ko’ra, da bo’ladi.
3–teorema. funksiya nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsa, u holda

bo’ladi.
◄Bu teoremani isboti Ferma teoremasini qo’llash bilan kelib chiqadi.
Biroq, funksiya uchun biror chekli hosila mavjut va bo’lishidan uning nuqtada ekstremumga ega bo’lishi har doim kelib chiqavermaydi. Masalan, funksiya uchun va nuqtada bo’lsa ham nuqtada ekstremumga ega emas (bu funksiya qa’tiy o’suvchi ekanligi bizga ma’lum).
Demak, yuqoridagi teorema funksiya ekstremumga qo’shishning zaru-riy shartini ifodalaydi.
Odatda funksiya hosilasini nolga aylantiradigan nuqtalar funksiyaning statsional (turg’un, kritik) nuqtalar deb ham ataladi.
Biz funksiyaning nuqtada hosilasi mavjud emasligini ko’rgan edik. Bu funksiya nuqtada minimumga ega bo’lishi ravshandir. Demak, funksiya hosilaga ega bo’lmagan nuqtalarda ham ekstremumga erishishi mumkin. Shunday qilib, funksiyaga ekstremum qiymat beriladigan nuqtalarni:
Funksiyaning statsionar nuqtalari, funksiyaning hosilasi mavjud bo’lmagan nuqtalari orasidan izlash kerak ekan. Odatda bunday nuqta funksiya ekstremumga sinaladigan nuqta deb ataladi.
2). Ekstremumning yetarli shartlari. funksiya nuqtada uzluk-siz bo’lib,

da chekli hosilaga ega bo’lsin.
a). Agar
uchun
uchun
bo’lsa, ya’ni hosila nuqtadan o’tishda o’z ishorasini “+” dan “ – ” o’zgartirilsa, funksiya nuqtada maksimumga ega bo’ladi.
◄ Haqiqtan ham, da funksiyaning qat’iy o’suvchi va

bo’lishidan da

tengsizlik kelib chiqadi.
Shuningdek, da funksiyaning qat’iy kamayuvchi va

bo’lishidan da

bo’lishini topamiz.
Demak, uchun

bo’lib, funksiya nuqtada maksimumga ega bo’ladi.►
b). Agar
uchun ,
uchun
bo’lsa, ya’ni hosila nuqtadan o’tishda o’z ishorasini “ – ” dan “ + ” ga o’zgartirsa, funksiya nuqtada minimumga ega bo’ladi.
◄ Haqiqatan ham, da funksiyaning qat’iy kama-yuvchi va

bo’lishidan da

tengsizlik kelib chiqadi.
Shuningdek, da funksiyaning qat’iy o’suvchi va

bo’lishidan, da

bo’lishini topamiz.
Demak, uchun

bo’lib, funksiya nuqtada minimumga ega bo’ladi.►
v). Agar
uchun ,
uchun
yoki
uchun ,
uchun
tengsizliklar o’rinli bo’lsa, ya’ni hosila nuqtani o’tishda o’z ishorasini o’zgartirmasa, u holda funksiya nuqtada ekstremumga ega bo’lamaydi.
Shunday qilib, ekstremumga sinalayotgan nuqtani o’tishda funksiya hosilasi ishorasining o’zgarishi uning ekstremumga erishishning yetarli shartidir.