O`zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

Funksiyaning monotonligi. Funksiyaning ekstremumlari

1⁰. Funksiyaning o’zgarmas qiymatni saqlashi. funksiya intervalda aniqlangan bo’lsin.
1–teorema. funksiya intervalda chekli hosilaga ega bo’lsin. Bu funksiya itervalda o’zgarmas bo’lishi uchun shu intervalda

bo’lishi zarur va yetarli.
◄Zarurligi.Shartga ko’ra funksiya intervalda o’zgarmas, yani . Ravshanki, bu holda intervalda bo’ladi.
Yetarliligi.Shartga ko’ra funksiya intervalda chekli hosilaga ega va . Endi intervalda istalgan va tayinlangan nuqtalarni olib, yoki segmentni qaraylik: . Lagranj teoremasiga ko’ra bilan nuqtalar orasida shunday nuqta mavjudki,( bo’lishini hisobga olgan holda)

tenglik orinli bo’ladi. tenglikdan esa kelib chiqadi. Bu funksiya intervalda o’zgarmas ekanini anglatadi. ►
1–natija.Agar va funksiyalar intervalda chekli va hosilaga ega bo’lib, shu intervalda

tenglik o’rinli bo’lsa, u holda bilan funksiyalar intervalda bir biridan o’zgarmas songa farq qiladi:

◄Haqiqatan ham,

deb, da

bo’lishini topamiz. Isbot etilgan teoremaga ko’ra bo’ladi. munosabatdan ekani kelib chiqadi. ►
2⁰. Funksiyaning monoton bo’lishi. funksiya itervalda aniqlangan bo’lsin.
2–teorema. funksiya itervalda chekli hosilaga ega bo’lsin.Bu funksiya shu intervalda o’suvchi ( kamayuvchi)bo’lishi uchun intervalda

tenglik o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
◄Zarurligi.Shartda ko’ra funksiya da chekli hosilaga ega bo’lib, u itervaldao’suvchi ( kamayuvchi). nuqtani olib, u bilan birga nuqtada ham qaraymiz. U holda
da
da
munosabatlar o’rinli bo’ladi va bu munosabatlardan har doim

tengsizlik kelib chiqadi.
Ma’lumki,

va munosabatlardan intervalning barcha nuqtalarida
,
tenglik o’rinli bo’lishini topamiz.
Yetarliligi.Shartga ko’ra funksiya intervalda chekli hosilaga ega bo’lib, shu intervalda tengsizlik o’rinli.
va , nuqtalarni olaylik. Bu holda bo’lib, segmentda funksiya Lagranj teoremasi-ning barcha shartlarini qanoatlantiradi. Lagranj teoremasiga muvofiq va nuqtalar orasida shunday nuqta mavjutki, ushbu

tenglik o’rinli bo’ladi.
Demak,

bundan funksiya intervalda o’suvchi ( kamayuvchi) bo’lishi kelib chiqadi. ►