O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus
§. Topologik fazolarda kompaktlik
Download 1.17 Mb. Pdf ko'rish
|
10-Qozoqboyeva Nilufar (funan kurs ishi) (2)
|
§. Topologik fazolarda kompaktlik
X topologik fazo bo’lib , Y uning biror qism fazosi bo’lsin. Ochiq to’plamlarning bo’lsa, u holda
bu sistema Y to’plamning ochiq qoplamasi deb ataladi. Agar ochiq qoplama chekli elementlardan iborat bo’lsa, u holda u chekli ochiq qoplama deyiladi. Agar topologik fazoning ixtiyoriy ochiq qoplamasidan chekli qism qoplama ajratib olish mumkin bo’lsa, u holda bu topologik fazo kom-
aksiomasini qanoatlantiruvchi kompaktli topologik fazoni kompakt deb ataymiz. M to’plamning qism to’plamlaridan iborat {A} sistemadan hohla- gancha olingan chekli sondagi to’plamlarning kesishmasi bo’sh bo’lmasa u holda {A} sistema markazlashgan deb ataladi. Agar X topologik fazoning har bir cheksiz qism to’plami kamida bir limit nuqtaga ega bo’lsa, u holda bu fazo sanoqli-kompaktli deyiladi.
Masalalar
1. Ixtiyoriy [a,b] kesma kompakt to’plamdir. Yechimi. [a,b] kesmaning intervallar bilan qoplamasidan chekli qop- lama ajratib olish mumkinligini ko’rsatish yetarlidir. Aytaylik , ℱ
intervallar sistemasi uchun [a,b] ⸦ bo’lsin.
[a,x] kesma ℱ sistemaning chekli intervallari bilan qoplangan bo’lsin.
tegishliligidan , [a,a] ⸦ , ya’ni a
bo’lsin. Shunday mavjudki,
Aniq quyi chegara ta’rifidan shunday mavjudki
10 [a,x] kesma ℱ sistemaning chekli intervallari bilan qoplangani uchun [a,
.
Agar desak , u holda oraliqda C to’plamning nuq- tasi topiladi , bu esa ning aniq quyi chegara ekanligiga ziddir. Hosil bo’lgan ziddiyatdan kelib chiqadi , ya’ni [a,x] kesmani ℱ siste- maning chekli intervallari bilan qoplash mumkin.
to’plamlardan iborat har bir markazlashgan sistemasining kesishmasi bo’sh bo’lmasligi zarur va yetarli ekanligini isbotlang. Yechimi. Zarurligi. X kompakt topologik fazoning biror yopiq to’plamlaridan iborat markazlashgan sistemasi berilgan bo’lsin. to’plamlardan iborat sistemaga tegishli chekli sondagi to’plamlar uchun
tengligidan va sistemaning markazlashgan ekanligidan ,
ekanligi kelib chiqadi , ya’ni sistemaning hech bir chekli qismi X fazo uchun qoplama bo’la olmaydi. U holda X kompaktli bo’lgani uchun , sistemaning o’zi ham X fazoning qoplamasi emas , ya’ni
Bundan
ekanligi kelib chiqadi.
Yetarliligi. X topologik fazoning biror ochiq qoplamasi berilgan bo’lsin. yopiq to’plamlarning sistema uchun
Masala sharti boıyicha , X fazodagi yopiq to’plamlarning xohlagan markazlashgan sistema bo’sh bo’lmagan kesishmaga ega. Shu sababli
sistema markazlashgan bo’la olmaydi. U holda bu sistema ke- sishmasi bo’sh bo’lgan chekli sondagi to’plamlar mavjud. Bundan
11 Demak, xohlagan ochiq qoplamadan chekli qoplama ajratib olish mumkin ekan, ya’ni X kompaktli.
3. Kompaktli X topologik fazoning xohlagan cheksiz qism to’plami kamida bir limit nuqtaga ega bo’lishini isbotlang. Yechimi. Aksinchasini faraz qilamiz, ya’ni bironta ham limit nuq- taga ega bo’lmagan cheksiz to’plam mavjud bo’lsin. U holda
to’plam ajratib olish mumkin. Natijada yopiq to’plamlar kesishmasi bo’sh bo’lgan markazlashgan sistema hosil etadi. Bu X fazoning kompaktli bo’lishiga zid, ya’ni farazimiz noto’g’ri.
4. Kompaktli X topologik fazoning xohlagan yopiq F qism to’plami kompaktli bo’lishini isbotlang. Yechimi. F qism fazoning yopiq qism to’plamlardan iborat xohla- gan
markazlashgan sistemani olamiz. Bu sistemaga tegishli har bir
to’plam X fazosida yopiq bo’ladi. X kompaktli bo’lganligidan, Demak , 2- misol bo’yicha , F kompaktli bo’ladi.
Yechimi. Hausdorf fazoning xohlagan qism fazosi Hausdorf bo’ladi , 4-misolda kompaktli topologik fazoning yopiq qism to’plamining kompaktli bo’lishi ko’rsatilgan. Natijada kompaktning yopiq qism to’plami kompakt bo’lishi kelib chiqadi.
yopiq bo’lishini isbotlang. Yechim. X Hausdorf fazo bo’lgani uchun , xohlagan
va xohlagan nuqtalarning o’zaro kesishmaydigan
atroflari topiladi. sistema K uchun ochiq qoplama bo’ladi. K kompakt bo’lgani uchun qoplamaning chekli
qism qoplamasi mavjud. Bu qism qoplamadagi hech bir to’plam bilan y nuqtaning
12 atrofi kesishmaydi , ya’ni
.
munosabati o’rinli bo’lgani uchun . Bundan K to’plamning yopiq ekanligi kelib chiqadi.
8. Kompaktli fazoning uzluksiz akslantirishdagi obrazi kompaktli fazo bo’lishini isbotlang. Yechim. X kompaktli topologik fazo , f esa X ni biror Y topologik fazoga uzluksiz akslantirish bo’lsin. f (X) fazoning xohlagan
ochiq qoplamasini qaraymiz. f akslantirish uzluksiz bo’lganligi sababli to’plamlar ochiq bo’lib, sistema X fazoning ochiq qoplamasi bo’ladi. X fazo kompaktli bo’lgani uchun chekli
qism qoplama mavjud bo’ladi, ya’ni . Bundan
.
Demak, f (X) fazo kompaktli.
uzluksiz akslantirish gomeomorfizm bo’lishini isbotlang. Yechimi. X fazosidan xohlagan yopiq F to’plamni olamiz. F kompakt (5-misolga qarang) bo’lgani uchun , to’plam
(8- misolga qarang) kompakt bo’ladi. Natijada 6- misol bo’yicha G
to’plam yopiq. Demak , akslantirishda xohlagan yopiq
to’plamning proobrazi yopiq. Bundan akslantirishning uzluksiz ekanligi , demak , ning gomeomorfizm ekanligi kelib chiqadi.
i ) X fazosining har bir sanoqli ochiq qoplamasi chekli qism qoplamaga ega; ii ) X fazosining yopiq qism to’plamlaridan iborat har bir sanoqli markazlashgan sistemasi bo’sh bo’lmagan kesishmaga ega. 13 Yechim. i) shart o’rinli bo’lib , yopiq to’plamlarning sanoqli
markazlashgan sistemasi berilgan bo’lsin. Agar deb faraz qilsak , u holda
ochiq to’plamlar sistemasi X fazosi uchun ochiq qoplama bo’ladi. Haqiqatan ,
.
i ) shart bo’yicha qoplamaning chekli lamasi mavjud. U holda
.
Bu sistemaning markazlashgan ekanligiga zid. Endi ii ) shart o’rinli bo’lib, X topologik fazoning sanoqli
ochiq qoplmasi berilgan bo’lsin. yopiq to’plamlarning
sistemasi uchun
.
sanoqli markazlashgan sistemasi bo’sh bo’lmagan kesishmaga ega. Shu sababli sistema markazlashgan bo’la olmaydi. U holda bu sistemada kesishmasi bo’sh bo’lgan chekli sondagi
to’plamlar mavjud. Bundan
.
Demak , ochiq qoplamadan chekli qoplama ajratib olish mumkin ekan , ya’ni i ) shart o’rinli.
qism to’plamlardan iborat har bir sanoqli markazlashgan sistemasi bo’sh bo’lmagan kesishmaga ega bo’lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang. 14 Yechimi: Zarurligi. Sanoqli - kompakt X fazoning yopiq to’plam- laridan iborat sanoqli markazlashgan sistema berilgan bo’lsin.
bo’lsin. markazlashgan sistema bo’lganligidan va yopiq to’plamlarning kesishmasi yopiq bo’lganligidan , har bir to’plam bo’sh bo’lmagan yopiq to’plam bo’ladi. Shu bilan birga ,
tengligi o’rinli. Natijada quyidagi ikki hol bo’lishi mumkin: 1- hol. Biror
tengliklari o’rinli. U holda
.
2- hol. to’plamlar orasida cheksiz sondagi o’zaro har xil to’plamlar mavjud. Bu hol barcha lar o’zaro har xil bo’lgan holni qarash yetarli. nuqtalardan iborat ketma- ketlik X fazoning cheksiz qism to’plami bo’ladi. X sanoqli-kompakt bo’lganligidan , ketma - ketlik kamida bitta limit nuqtaga ega.
nuqtalar to’plamiga tegishli bo’lganligidan, nuqta
uchun ham limit nuqta bo’ladi, to’plamning yopiqligidan
Bundan , ya’ni . Yetarliligi esa 2 va 10 misollardan kelib chiqadi.
12. Metrik fazodan olingan E to’plamning kompakt bo’lishi uchun uning sanoqli-kompakt bo’lishi zarur va yetarli. Yechimi. Zarurligi. E to’plam kompakt bo’lsin. E to’plamdan ixtiyoriy ketma-ketlikni olamiz. Bu ketma-ketlikning birorta ham qismiy ketma-ketligi E da yaqinlashuvchi emas deb faraz qilaylik. U holda E to’plamning har bir z elemanti berilgan ketma-ketlikning faqat chekli hadlarinigina o’z ichiga oluvchi V (z) atrofga ega bo’ladi. Bu atroflar E uchun ochiq qoplama hosil qiladi. E kompakt bo’lgani uchun chekli sondagi elementlar mavjud bo’lib
15 munosabat o’rinli bo’ladi. Ammo bu munosabatning o’rinli bo’lishi mumkin emas, sababi to’plamlarga
ketma-ketligining faqat chekli sondagi hadlari tegishli, E to’plamga esa barcha hadlari tegishli. Bu ziddiyatdan farazimizning noto’g’ri ekanligi kelib chiqadi. U holda E dan olingan ixtiyoriy ketma-ketlik E da yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikka ega ekan. Bundan esa E to’plamning sanoqli-kompakt ekanligi kelib chiqadi. Yetarliligi. E sanoqli-kompakt to’plam bo’lsin. Faraz qilaylik E kompakt bo’lsin. U holda E to’plamdan chekli qism qoplama ajratib olish mumkin bo’lmagan ochiq qoplamasi mavjud bo’ladi. Nolga intiluvchi kamayuvchi sonli ketma-ketlik olamiz. E uchun chekli -to’r tuzib (Hausdorf teoremasi bo’yicha chekli -to’r tuzish mumkin), bu to’rning har bir elementi atrofida radiusi bo’lgan shar hosil qilamiz. Sanoqli-kompakt to’plamning yopiq qism to’plami sanoqli- kompakt bo’lgani uchun hosil qilingan har bir shar yopilmasining E to’plam bilan kesishmasi sanoqli-kompakt bo’ladi. Bu kesishmalar- dan hosil bo’lgan to’plamlarning diametrlari 2 sonidan katta emas. Natijada E to’plam diametrlari 2 sonidan katta bo’lmagan chekli sondagi sanoqli-kompakt to’plamlarning birlashmasi ko’rinishda ifoda- lanadi. Farazimiz bo’yicha sistemaning chekli qism qoplamasi mavjud emas. U holda birlashmadagi sanoqli-kompaktlarning hech biri ham chekli ochiq qoplamaga ega emas. Bu sanoqli-kompaktni
orqali belgilaymiz. Endi to’plam uchun chekli -to’r tuzamiz va bu to’rning har bir elementi atrofida radiusi ga teng shar hosil qilib, to’plamni, yuqoridagiday qilib, diametrlari 2 sonidan katta bo’lmagan chekli sondagi sanoqli-kompaktlarning birlashmasi ko’rinishida ifodalaymiz. Bu b irlashmadagi sistemaning chekli sondagi to’plamlari bilan qoplanmaydigan kompakt to’plamni orqali belgilaymiz.
Bu jarayonni cheksiz davom ettirsak sanoqli-kompaktlarning ka- mayuvchi
ketma-ketligiga ega bo’lamiz. Bu ketma-ketlikdagi hech bir sanoqli- kompakt sistemaning chekli sondagi to’plamlari bilan qoplan- maydi va diam . ξ element bu kompaktlarga tegishli umumiy nuqta bo’lsin (10- misolga qarang). ξ bo’lgani uchun sis- temaga tegishli to’plam topilib, ξ bo’ladi va 2 bo’lsin. U holda . Bu farazimizga zid. Demak, E to’plam kompakt.
16 5- §. Topologik fazolarni uzluksiz aks ettirish Ta’rif. ,
topologik fazolar , aks ettirish va
bo’lsin. Agar nuqtaning har bir U atrofi uchun
ning shartni qanoatlantiruvchi V atrofi mavjud bo’lsa, f aks ettirish nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar f aks ettirish X ning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, u X da uzluksiz yoki, qisqacha, uzluksiz deyiladi. Xususan , X topologik fazoni to’g’ri chiziqqa uzluksiz aks ettirish X fazodagi uzluksiz funksiya deyiladi. Biror topologik fazoni ikkinchi bir topologik fazoga aks ettirish- ning uzluksizligini ochiq to’plamlar yordamida ham ta’riflash mumkin
1-teorema. Download 1.17 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|