O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta ta’limi vazirligi

Bir jinsli bo’lmagan to’lqin tenglamasiga qo’yilgan chegaraviy masala

uchun Fur’e usulining qo’llanilishi.
Endi biz yuqorida qollagan usulni issiqlik tarqakishning bir jinsli bo’lmagan, ya’ni sterjenda issiqlik manbalari ta’siri kuzatilgan hilga tadbiq etamiz. Bu holda biz

(12)

issiqlik tarqalish tenglamasining

(13)

bir jinsli boshlang’ich shartni hamda

(14)

chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi va sohada aniqlangan ikkinchi tartibgacha uzluksiz aynan nolga teng bo’lmagan yechimini topishdan iboratdir.

Ushbu masala yechimini oldingi masaladagi Shturm-Liuvill masalasi

xos funksiyalari bo’yicha Fur’e qatori ko’rinishida izlaymiz, ya’ni

. (15)

Xuddi shu kabi (12) tenglama o’ng tomonidagi funksiyani ham  ni hozircha parametr sifatida qarab, Fur’e qatoriga yoyamiz:

. (16)

Bunda

.

Yechimning izlangan (15) ifodasini va funksiyaning (16) ifodasini (12) tenglamaga qo’yib

.

Ikki teng funksiyalar Fur’e koeffisientlari teng bo’lganligi uchun oxirgi tenglamadan

(17)

oddiy differensial tenglamaga kelamiz. Endi (13) boshlang’ich shartlarni qaraymiz.

.

Demak (13) boshlang’ch shart uchun qo’yilgan

(18)

shartga o’tar ekan. (17) birinchi tartibli oddiu chiziqli differensial tenglamaning (18) shartni qanoatlantiruvchi yechimi bizga oddiy differensial tenglamalar kursidan ma’lum bo’lgan formulada yechiladi:

.

ning bu ifodasini (15) ga qo’yib, qo’yilgan (12)-(14) masalaning yechimiga ega bo’lamiz:

.

Ushbu yechimni ning ifodasini o’rniga qo’yish va qator tekis yaqinlashuvchanligiga asosan uni hadlab integrallash mumkin ligidan foydalanib

ko’rinishda yozish mumkin. Bunda

.

Odatda ushbu funksiyani nuqtaviy issiqlik manba funksiyasi deb aytiladi.

Umumiy 1-tur chegaraviy masala va uni yechishni sodda holga

keltirish usuli.

Endi issiqlik tarqalishining bir jinsli bo’lmagan tenglamasiga qo’yilgan bir jinsli bo’lmagan boshlang’ich va 1-tur chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimni topish masalasini, ya’ni

(12)

issiqlik tarqalish tenglamasining

(19)

boshlang’ich shartni hamda

(20)

chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi va sohada aniqlangan ikkinchi tartibgacha uzluksiz aynan nolga teng bo’lmagan yechimini topish masalasini qaraymiz. Bunda va lar berilgan funksiyalar bo’lib, o’z argumentlarining uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalaridir.

Ushbu masalani yordamchi kiritish bilan avval o’rganilgan soddaroq chegaraviy masalalarni yechishga keltirish mumkin. Haqiqatan ham (12) tenglamaning yechimini

(21)

ko’rinishda izlasak va undan kerakli xususiy hosilalarni olib (12), (19) va (20) ga qo’ysak va unda yordamchi funksiyani

shartlarni qanoatlantirsin deb, masalan

(22)

kabi tanlasak (bunday funksiyalar yagona emas), funksiya uchun (1)-(3) masalaga o’xshash bo’lgan

masalani yechish masalasiga kelamiz. Bunda

,

aniq ko’rinishga ega bo’lgan berilgan uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalardir. Bu masalani (1)-(3) masalani yechish usulidagi kabi yechib, uni va (22) ni (21) ga qo’yib, (12) issiqlik tarqalish tenglamasining (19) va (20) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini olamiz.

Xulosa. Bu mavzuda biz aralash masalani yechimini topishning Fur’e usuli bilan 1-chegaraviy masala misolaida tanishdik. Ushbu usulni 2-, 3-chegaraviy masalalar hamda aralash chegaraviy masalalarga ham xuddi shu kabi tatbiq etish mumkin. Ushbu hollarda asosiy farq faqat chegaraviy shartlarda bo’lgani kabi Shtuurm-Liuvill masalasi xos qiymat va xos funksiyalari o’zgaradi.

Mavzuda dastlab bir jinsli chegaraviy shartlar qo’yilgan, so’ngra bir jinsli bo’lmagan tenglama va oxirida umumiy chegaraviy masalani yechish usullari hamda uni sodda masalaga keltirish usuli bilan tanishdik. Qo’llanil;gan ushbu usul 2- , 3- va aralash turdagi chegaraviy masalalarni yechish uchun ham bevosita qo’llanilishi mumkin. Bunda faqat Shturm-Liuvilll masalasi chegaraviy shartlari va o’z navbatida xos qiymat va xos funksiyalari boshqacharoq ko’rinishni oladi. Shu sababli tuzulgan Fur’e qatori ham xos funksiya ko’rinishiga bog’liq ravishda o’zgaradi. Yechim berilgan boshlang’ich va chegaraviy shartlardan uzluksiz bog’liqligi uning ko’rinishidan va integralning uzluksizlik xossasidan kelib chiqadi. Shuning bilan biz chegaraviy masal yechimining mavjudligi, yagonaligi va turg’unligini to’la hal etdik.

Хulosa.

Chiziqli tenglamalar sistemasi fanning juda ko'p tarmoqlarida qo'llaniladi. Chizikli tenglamalar echishni ko'p usullari bor, lekin Gauss usuli universal usul хisoblanadi, chunki kengaytirilgan matritsa satrlari ustida elementar almashtirishlar bajarib, istalgan tenglama uchun uning echimi haqida ijobiy javob olish mumkin. Bu mavzuda biz aralash masalani yechimini topishning Fur’e usuli bilan 1-chegaraviy masala misolaida tanishdik. Ushbu usulni 2-, 3-chegaraviy masalalar hamda aralash chegaraviy masalalarga ham xuddi shu kabi tatbiq etish mumkin. Ushbu hollarda asosiy farq faqat chegaraviy shartlarda bo’lgani kabi Shtuurm-Liuvill masalasi xos qiymat va xos funksiyalari o’zgaradi.

Mavzuda dastlab bir jinsli chegaraviy shartlar qo’yilgan, so’ngra bir jinsli bo’lmagan tenglama va oxirida umumiy chegaraviy masalani yechish usullari hamda uni sodda masalaga keltirish usuli bilan tanishdik. Qo’llanil;gan ushbu usul 2- , 3- va aralash turdagi chegaraviy masalalarni yechish uchun ham bevosita qo’llanilishi mumkin. Bunda faqat Shturm-Liuvilll masalasi chegaraviy shartlari va o’z navbatida xos qiymat va xos funksiyalari boshqacharoq ko’rinishni oladi. Shu sababli tuzulgan Fur’e qatori ham xos funksiya ko’rinishiga bog’liq ravishda o’zgaradi. Yechim berilgan boshlang’ich va chegaraviy shartlardan uzluksiz bog’liqligi uning ko’rinishidan va integralning uzluksizlik xossasidan kelib chiqadi. Shuning bilan biz chegaraviy masal yechimining mavjudligi, yagonaligi va turg’unligini to’la hal etdik.

Asosiy adabiyotlar.

1.T.J.Juraev , G.Хudoyberganov, A.K.Vorisov, Х.Mansurov «Oliy matematika asoslari», I , II qismlar., T., 1999 y.

2. Shipachev V.S. «Visshaya matematika», M., «Visshaya shkola», 1991y.

3. Vinogradov I.M. «Elementi visshey matematiki», M., 1999 y.

4.Soatov YO.U. «Oliy matematika», 1 va 2- jildlar , T., «O'qituvchi» ,1992y.,1994 5.B. Abdualimov , SH.Soliхov «Oliy matematika qisqacha kursi», T., «O'qituvchi» , 1981 y.

6.Danko P.E., Popova A.T. Kojevnikova T.YA. «Visshaya matematika v uprajneniyaх i zadachaх» M., Visshaya shkola. 1998 y.

7. Zaytsev I.A. Visshaya matematika, M., 1998 y.

8. Petrova V.T. Lektsii po algebre i geometrii . 2 qism , M., 1999 y.

Ilova

Misol-1

MISOL-2