O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta ta’limi vazirligi

3. Ko'p tarmoqli iqtisod modeli (Balans modeli)

Balans modelining asosiy masalasi, makroiqtisodiyotni tashkil etadigan ko'ptarmoqli iqtisodiyot faoliyatini maksadga muofik tarzda samarali olib borishdan iborat bo’lib, bu masala quyidagicha quyiladi: ta tarmokdan iborat хujalikning хar bir ishlab chiqargan mahsulot miqdori qanday bo'lsa ularga ehtiyoj to'la qondiriladi. Bu erda shuni e’tiborga olish kerakki ta tarmoqning har biri ishlab chiqargan maхsulotning bir qismi shu tarmoq ehtiyoji uchun, bir qismi boshqa tarmoqlar ehtiyoji uchun va yana bir qismi ishlab chiqarish bilan bog'liq bo'lmagan ehtiyojlar uchun sarf bo'ladi.

Ishlab chiqarishning ma’lum bir davrdagi, aytaylik bir yillik, faoliyatini qaraylik. deb - tarmoqlarning shu davr davomida ishlab chiqargan yalpi maхsulot хajmini pul birligida ifodalangan qiymati bo'lsin, bu erda bo'ladi. deb tarmoq maхsulotining tarmoq ehtiyoji uchun sarf bo'lgan хajmini pul miqdorini belgilaymiz. deb tarmoq mahsulotining noishlab chiqarish ehtiyoji хajmini pul miqdorini belgilaymiz. Tabiiy - tarmok ishlab chiqargan yalpi maхsulot хajmi tarmoq ehtiyojlari va noishlab chiqarish ehtiyojlariga sarf qilingan hajmlar yig'indisiga teng bo'lishi kerak, ya’ni

(1)

1. 
   tenglamalar balans munosabatlari deb nomlanadi.
   

Agar belgilash kiritsak, tarmoqning хajm birligi uchun sarf etilgan, -tarmok mahsulot хajmi qiymatini bildiradi. -bevosita хarajatlar koeffitsenti deb nomlanadi. -koeffitsentlarni karalayotgan davrdagi ishlab chiqarish jarayonida qullanilayotgan teхnologiya aniqlaydi. Qanchalik yangi samarador teхnologiya qo'llanilsa shunchalik -koeffitsentlar kichik bo'lib, sarf хarajatlar shunchalik kam bo'lib samaradorlik yuqori bo'ladi. Qaralayotgan davr ichida koeffitsentlarini o'zgarmas deb qaraymiz, ya’ni sarf хarajatlar yalpi хarajatlarga chiziqli bog'lik deb qaraymiz.

Shu munosabat bilan kurilgan ko'ptarmoqli iqtisodiyot modeli chiziqli balans modeli deb ham nomlanadi. (1) tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi.

Endi quyidagi belgilashlarni kiritaylik,

bu erda - teхnologik matritsa, -yalpi maхsulot vektori, - yakuniy maхsulot vektori deb nomlanadi. Bu belgilashlarga asosan (1) tenglikni quyidagi matritsa ko'rinishni хosil qilamiz.

(2)

Ko'p tarmoqli balansning asosiy masalasi berilgan yakuniy maхsulot vektori va bevosita хarajatlar matritsasiga - ga ko'ra -yalpi maхsulot vektorini topishdan iborat bo'ladi, ya’ni (2) tenglamani noma’lum vektor ga nisbat echish kerak. Buning uchun uni quyidagi ko'rinishga olib kelamiz .

Agar bo'lsa, u holda teskari matritsa mavjud bo'lib, echim quyidagi ko'rinishda bo'ladi.

(3)

-matritsa bevosita хarajatlar matritsasi deb nomlanadi. Bu matritsaning iqtisodiy ma’nosini tushinish uchun -o'rnida 1 qolgan joylarda 0 bulgan, yakuniy maхsulot birlik vektorlarini ko'raylik, ularga mos keluvchi (3) tenglama echimlarini ko'rsak, ular quyidagiga teng bo'ladi.

Demak, , matritsaning -elimenti, -tarmokning -tarmokning birlik yakuniy maхsuloti ni ishlab chiqarish uchun sarf qilinishi kerak bo'lgan maхsulot miqdori qiymatini berar ekan.

Qaralayotgan masalaning iqtisodiy ma’nosiga ko'ra (3) tenglamada bo'lib, tenglama echimi uchun bo'lishi kerak. Shu holatni biz va deb belgilaymiz.

matritsa samarali matritsa deyiladi, agar istalgan vektor uchun, tengsizlikni qanoatlantiruvchi (3) ning echimi mavjud bo'lsa. Shu хolda Leontev modeli хam samarali model deyiladi.

-matritsaning samarali ekanligi bir necha kriteyrilari bor. Ulardan biri shundan iboratki, agar -matritsaning ustunlar elementi yig'indisining maksimum 1 dan katta bo'lmay, хech bo'lmaganda biron –bir ustun elementlari yig'indisidan kichik bo'lsa, -samarali matritsa bo'ladi, ya’ni , bo'lib, shunday mavjudki uning uchun o'rinli bo'lsa, -samarali matritsa bo'ladi.

Bu mavzuda biz birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama, uning kvazichiziqli, chiziqli ko’rinishlari, bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan ko’rinishlari bilan tanishamiz hamda ushbu tenglamalarninig xususiy va umumiy yechimini uning xarakteristik tenglamasi va birinchi integrallar deb ataluvchi xarakterisytik chiziqlar oilasi orqali qurish usuli haqida to’xtalamiz. Topilgan umumiy yechim orqali tenglamaga qo’yilgan Koshi masalasi yechimini topish masalasi ham o’rganiladi.

1-Ta’rif. noma’lum funksiya, uning argumentlari va birinchi tartibli xususiy hosilalari qatnashgan differensial tenglamaga birinchi tartibli xususiy hosilali diffrensial tenglama deyiladi va u umumiy holda

(1)

ko’rinishda yoziladi. Bunda berilgan funksiya.

Masalan quyidagi

, , ,

tenglamalar birinchi tartibli xususiy hosilali diffrensial tenglamaga misol bo’ladi.

2-Ta’rif. Agar (1) birinchi tartibli xususiy hosilali diffrensial tenglama

(2)

ko’rinishda bo’lsa unga birinchi tartibli kvazichiziqli differensial tenglama deyiladi. Bunda berilgan funksiya.

Agar (2) tenglamada bo’lsa unga bir jinsli, aks holda ya’ni qaralayotgan sohada bo’lsa (2) tenglamaga bir jinsli bo’lmagan xususiy hosilali kvazichiziqli tenglama deyiladi.

Agar (2) tenglamada qatnashayotgan koeffisientlar faqat larga bog’liq bo’lib, noma’lum funksiya dan bog’liq bo’lmasa va funksiya ham dan chiziqli bog’liq bo’lsa u holda bunday tenglamaga birinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama deyiladi.

Masalan yuqorida keltirilgan misollardan birinchi va to’rtinchisi birinchi tertibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama bo’ladi. Ulardan birinchisi ikki o’zgaruvchili funksiyaga nisbatan bir jinsli tenglama bo’lsa, ularning to’rtinchisi esa uch o’zgaruvchili funksiyaga nisbatan bir jinsli bo’lmagan tenglama bo’ladi.

2. 
   Birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini va Koshi masalasi yechimini topish usuli.
   

Faraz qilaylik bizga birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli chiziqli differensial tenglama berilgan bo’lsin:

. (3)

Bunda koeffisientlar biror sohada aniqlangan va o’zining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan uzluksiz va hammasi bir vaqtda nolga teng bo’lmagan berilgan funksiyalar. Aniqlik uchun bo’lsin.

Odatda (3) bilan bir vaqtda uning xarakteristik tenglamalari deb ataluvchi quiydagi diffrensial tenglamalar sistemasi qaraladi:

. (4)

(4) sistemani unga ekvivalent bo’lgan quyidagi tenglamalar sistemasi bilan almashtiramiz

. (5)

koeffisientlarga yuqoridagi qo’yilgan shartlarda (5) sistema ta chiziqli bog’lanmagan birinchi integrallarga ega bo’ladi:

. (6)

(6) ga (3) tenglamaning xarakteristik chiziqlari oilasi deb ataladi. Quyidagi lemmada (3) tenglama hamda (5) sistema yechimlari orasidagi bog’lanish keltiriladi.

Lemma. 1) Agar (5) ning biror birinchi integrali bo’lsa, u holda funksiya (3) differensial tenglamaning xususiy yechimi bo’ladi.

2) Agar funksiya (3) ning biror xususiy yechimi bo’lsa, u holda oila (5) ning birinchi integrali bo’ldi.

3) Agar lar (5) ning birinchi integrallari bo’lsa, u holda (3) differensial tenglamaning umumiy yechimi



dan iborat bo’ladi. Bunda qaralayotgan sohada uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya.

Isbot. 1). (6) ga ko’ra (5) ning ixtiyoriy birinchi integrali xarakteristik chiziqlar bo’ylab o’zgarmasga tengligi tufayli (5) ning ixtiyoriy birinchi integrali to’liq differensiali quyidagi tenglikni qanoatlantiradi

.

Bunda (5) ga asosan

tenglikdan foydalansak, quyidagi ifodaga ega bo’lamiz:

.

Agar ekanligini hisobga olsak quyidagi tenglikni olamiz:

. (7)

Ushbu tenglik larga bog’liq bo’lmagan holda qaralayotgan sohaning barcha nuqtalarida bajariladi. Bu esa funksiya (3) differensial tenglama uchun xususiy yechim ekanligini bildiradi. Shunday qilib biz lemmaning 1) –qismini isbotladik.

2) Faraz qilaylik funksiya (3) ning biror xususiy yechimi bo’lsin, ya’ni (7) ning ayniyat ekanligini olamiz. U holda funksiyaning to’la differensialini hisoblaymiz:

.

Bunda (5) sistemani hisobga olsak quyidagi tenglikni olamiz:

.

Bu tenglikda (7) ayniyat ekanligini hisobga olsak bo’ladi, ya’ni (5) sistemaning ixtiyoriy untegral chizig’i bo’ylab bo’lar ekan.

3) Teoremaning bu tasdig’ini isbotlash uchun, ya’ni (3) ning umumiy yechimi xarakteristikalar orqali

ko’rinishda ekanligini isbotlash uchun u barcha xususiy yechimlarni o’z ichida saqlovchi yechim ekanligini ko’rsatishimiz yetarli. Faraz qilaylik nolmas funksiya (3) ning ixtiyoriy bir xususiy yechimi bo’lsin. U holda tenglikni qanoatlantiruvchi va uzluksiz differensiallanuvchi funksiyaning mavjud ekanligini ko’rsatamiz. Teorema sharti va farazimizga asosan funksiyalar (5) sistemaning va teoremaning isbotlangan 2) qismiga ko’ra ular (3) ning ham yechimlari ekanligidan quyidagi ayniyat o’rinli

(8)

Agar (8) ayniyatni larga nisbatan bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi deb qarasak uning nolmas yechimga ega ekanligidan uning determinanti nolga teng bo’lishu zarur bo’ladi:

.

Bundan funksiyalar sistemasining Yakobiani nolga teng bo’lganligi uchun ular chiziqli bog’langan degan xulosaga kelamiz. Demak, nolmas funksiya qolganlari orqali ifodalanadi:

.

(5) sistemaning har bir birinchi integrali bo’ylab funksiyalar o’zgarmasga aylangani uchun funksiya ham (5) sistemaning integral chiziqlari bo’ylab o’zgarmasga aylanadi, ya’ni ham (5) ning integrali bo’ladi. Teoremaning 2) tasdigiga asosan funksiya (3) ning yechimi bo’ladi. Demak funksiya (3) ning barcha xususiy yechimlarini beruvchi yechim ekan. Bu esa uning umumiy yechim ekanligini anglatadi.