O‘zbekiston respublikasi xalq ta’limi vazirligi tasarrufidagi farg‘ona davlat universiteti huzuridagi xalq ta’limi xodimlarini qayta tayyorlash va ularning malakasini oshirish hududiy markazi

II- BOB. Chiziqli tengsizliklar sistemasi mavzusini o’qitish metodikasi.

§.2.1. BIR NOMA’LUMLI TENGSIZLIKLAR SISTEMALARI.
SONLI ORALIQLAR

1. T e n g s i z l i k l a r s i s t e m a l a r i .

M a s a l a . Sig‘imi 4000 l bo‘lgan bo‘sh hovuz suv bilan to‘ldirila boshlandi. Hovuzning 4 soatdan keyin yarmidan ko‘prog‘i to‘lishi va 5 soatdan keyin u batamom to‘lib-toshib ketmasligi uchun hovuzga soatiga necha litrdan suv quyish kerak?

Yechish. x litr — hovuzga 1 soat ichida quyiladigan suv miqdori bo‘lsin.

Masala shartiga ko‘ra 4x > 2000, 5x 4000 .

Birinchi tengsizlikdan x > 500, ikkinchi tengsizlikdan esa x 800

kelib chiqadi.

J a v o b : hovuzga soatiga 500 l dan ko‘p, lekin 800 l dan ko‘p

bo‘lmagan hajmda suv quyish kerak.
4x > 2000 va 5x 4000 tengsizliklardagi noma’lum son ayni bir xil x sonidir. Shuning uchun bu tengsizliklar birgalikda qaraladi va ular tengsizliklar sistemasini tashkil qiladi, deyiladi:

(1)

Katta qavs x ning (1) sistemaning ikkala tengsizligini ham to‘g‘ri sonli tengsizlikka aylantiruvchi qiymatlarini topish kerakligini bildiradi.

(1) sistema bir noma’lumli chiziqli tengsizliklar sistemasiga misoldir.

Yana chiziqli tengsizliklar sistemasiga keltiriladigan bir noma’lumli

tengsizliklar sistemalariga misollar keltiramiz:



Bir noma’lumli tengsizliklar sistemasining yechimi deb, noma’lumning sistema tengsizliklarining barchasini to‘g‘ri sonly tengsizliklarga aylantiruvchi qiymatiga aytiladi.

Tengsizliklar sistemasini yechish — uning barcha yechimlarini
topish yoki ularning yo‘qligini aniqlash demakdir.
Masalan, x = 1 ushbu

(2)

sistemaning yechimi bo‘ladi, chunki x = 1 bo‘lganda (2) sistemaning

ikkala tengsizligi ham to‘g‘ri bo‘ladi:

(2) sistema birinchi tengsizligining ikkala qismini 2 ga, ikkinchi

tengsizligining ikkala qismini esa 3 ga bo‘lib,

ni hosil qilamiz. Demak, (2) sistemaning yechimlari x ning –2 dan kichik bo‘lmagan va 3 dan katta bo‘lmagan barcha qiymatlaridan iborat bo‘ladi.

tengsizliklarni qo‘sh tengsizlik ko‘rinishida yozish
mumkin:

2. S o n l i o r a l i q l a r .

Bir noma’lumli tengsizliklar sistemalarining yechimlari har xil sonli to‘plamlar bo‘ladi. Bu to‘plamlar o‘zlarining nomlariga ega.

Masalan, son o‘qida x ning bo‘ladigan son qiymatlari

to‘plami oxirlari –2 va 3 nuqtalarda bo‘lgan kesma bilan tasvirlanadi
(4- rasm).


Shuning uchun tengsizlikni qanoatlantiruvchi x sonlar
to‘plami kesma deb ataladi va [–2; 3] kabi belgilanadi.

Agar a < b bo‘lsa, u holda a £ £x b tengsizlikni qanoatlantiruvchi x sonlar to‘plami kesma deyiladi va [a; b] kabi belgilanadi.

Masalan, [4; 7] kesma — ushbu tengsizlikni qanoatlantiruvchi x sonlar to‘plami.

2 < x < 7, -1 x < 2, 4 < x 7 ko‘rinishdagi tengsizliklarni qanoatlantiruvchi sonlar to‘plami uchun ham alohida atamalar kiritiladi.

Agar a < b bo‘lsa, u holda a < x < b tengsizlikni qanoatlantiruvchi x sonlar to‘plami interval deyiladi va (a; b) kabi belgilanadi.

Masalan, (–2; 3) interval — ushbu –2 < x < 3 tengsizlikni

qanoatlantiruvchi x sonlar to‘plami (5- rasm).



yoki tengsizliklarni qanoatlantiruvchi x sonlar to‘plami yarimintervallar deyiladi va mos ravishda [a; b) va (a; b] kabi belgilanadi.

Masalan, [–1; 2) yariminterval — ushbu tengsizlikni

qanoatlantiruvchi x sonlar to‘plami; (4; 7] yariminterval — ushbu tengsizlikni qanoatlantiruvchi x sonlar to‘plami (6- rasm).

Kesmalar, intervallar, yarimintervallar va nurlar sonli oraliqlar deyiladi.

Shunday qilib, sonli oraliqlarni tengsizliklar ko‘rinishida berish mumkin.