O‘zbekiston respublikasi xalq ta’limi vazirligi tasarrufidagi farg‘ona davlat universiteti huzuridagi xalq ta’limi xodimlarini qayta tayyorlash va ularning malakasini oshirish hududiy markazi

J a v o b : Har bir poyezdning harakatlanish tezligi 50 km/soatdan kam bo‘lmasligi kerak.
tengsizlikda x harfi bilan noma’lum son belgilangan. Bu
bir noma’lumli chiziqli tengsizlikka misoldir.
Ushbu

tengsizliklar bir noma’lumli chiziqli tengsizliklar deyiladi, bunda a va

b — berilgan sonlar, x esa noma’lum.
Ko‘pgina, masalan,
,

kabi tengsizliklar bir noma’lumli chiziqli tengsizliklarga keltiriladi.

Tengsizlik ishorasining chap va o‘ng tomonlarida turgan ifodalar tengsizlikning chap va o‘ng qismlari deyiladi. Tengsizlikning chap va o‘ng qismlaridagi har bir qo‘shiluvchi tengsizlikning hadi deyiladi.
Masalan, tengsizlikda 2x – 5 — chap qism, 4 + 3x — o‘ng qism, 2x, –5, 4 va 3x — tengsizlikning hadlari.

Agar masalada hosil qilingan tengsizlikka x = 50, x = 51, x = 60 ni qo‘ysak, u holda to‘g‘ri sonli tengsizliklar hosil bo‘ladi:

50, 51, 60 sonlarining har biri tengsizlikning yechimi
deyiladi.

Bir noma’lumli tengsizlikning yechimi deb, noma’lumning shu tengsizlikni to‘g‘ri sonli tengsizlikka aylantiradigan qiymatiga aytiladi.

Tengsizlikni yechish uning hamma yechimlarini topish yoki ularning yo‘qligini aniqlash demakdir.
Tengsizlikdagi noma’lum son istalgan harfbilan belgilanishi mumkin.
Masalan, ushbu

tengsizliklarda noma’lumlar mos ravishda y, t, z harflari bilan belgilangan.

§ 1.2. BIR NOMA’LUMLI TENGSIZLIKLARNI YECHISH
Tengsizliklarni yechishga misollar keltiramiz.
1- m a s a l a . Tengsizlikni yeching:

x + 1 > 7 – 2x.

x son berilgan tengsizlikning yechimi, ya’ni x son x + 1 > 7 – 2x tengsizlikni to‘g‘ri tengsizlikka aylantiradi, deb faraz qilamiz.

–2x hadni tengsizlikning o‘ng qismidan chap qismiga uning ishorasini qarama-qarshisiga o‘zgartirgan holda o‘tkazamiz, 1 sonini esa tengsizlikning o‘ng qismiga „—“ ishorasi bilan o‘tkazamiz.

Natijada ushbu

x + 2x > 7 – 1

to‘g‘ri tengsizlikni hosil qilamiz.

Bu tengsizlikning ikkala qismida o‘xshash hadlarini ixchamlaymiz:

3x > 6.

Endi tengsizlikning ikkala qismini 3 ga bo‘lib,

x > 2

ekanini topamiz.

Shunday qilib, x ni berilgan tengsizlikning yechimi, deb faraz qilib, biz x > 2 ni hosil qildik. x ning 2 dan katta istalgan qiymati tengsizlikning yechimi bo‘lishiga ishonch hosil qilish uchun barcha mulohazalarni teskari tartibda olib borish yetarli.
Aytaylik, x > 2 bo‘lsin. To‘g‘ri sonli tengsizliklarning xossalarini qo‘llab, ketma-ket quyidagilarni hosil qilamiz:

3x > 6,

x + 2x > 7 – 1,
x + 1 > 7 – 2x.

Binobarin, 2 dan katta istalgan x son berilgan tengsizlikning yechimi bo‘ladi.

J a v o b : x > 2.
Tengsizlikning yechilishini yozishda batafsil izohlarni keltirish shart
emas. Masalan, 1- masalaning yechilishini bunday yozish mumkin:

x + 1 > 7 – 2x,
3x > 6,
x > 2.

Shunday qilib, tengsizlikni yechishda uning quyidagi asosiy

xossalaridan foydalaniladi:
1- x o s s a . Tengsizlikning istalgan hadini uning bir qismidan ikkinchi qismiga, shu hadning ishorasini qarama-qarshisiga o‘zgartirgan holda o‘tkazish mumkin, bunda tengsizlik ishorasi o‘zgarmaydi.
2- x o s s a . Tengsizlikningikkala qismini nolga tengbo‘lmagan ayni bir songa ko‘paytirish yoki bo‘lish mumkin; agar bu son musbat bo‘lsa, u holda tengsizlik ishorasi o‘zgarmaydi, agar bu son manfiy bo‘lsa, u holda tengsizlik ishorasi qarama-qarshisiga o‘zgaradi

Bu xossalar berilgan tengsizlikni boshqa, xuddi shunday yechimlarga ega bo‘lgan tengsizlik bilan almashtirishga imkon beradi.

Chiziqli tengsizlikka keltiriladigan bir noma’lumli tengsizliklarni yechish uchun:
1) noma’lum qatnashgan hadlarni chap tomonga, noma’lum qatnashmagan (ozod) hadlarni esa o‘ng tomonga o‘tkazish (1- xossa);
2) o‘xshash hadlarni ixchamlab, tengsizlikning ikkala qismini noma’lum oldidagi koeffitsiyentga (agar u nolga teng bo‘lmasa) bo‘lish (2- xossa) kerak.
2- m a s a l a . Tengsizlikni yeching:

3(x – 2) – 4(x + 1) < 2(x – 3) – 2.

Tengsizlikning chap va o‘ng qismlarini soddalashtiramiz. Qavslarni ochamiz:

3x – 6 – 4x – 4 < 2x – 6 – 2.

Noma’lum qatnashgan hadlarni tengsizlikning chap qismiga, noma’lum
qatnashmagan (ozod) hadlarni esa o‘ng qismiga olib o‘tamiz (1- xossa):

3x – 4x – 2x < 6 + 4 – 6 – 2.

O‘xshash hadlarni ixchamlaymiz:

–3x < 2

va tengsizlikning ikkala qismini – 3 ga bo‘lamiz (2- xossa):

Javob:

Bu yechilishni qisqacha bunday yozish mumkin:

3(x – 2) – 4(x + 1) < 2(x – 3) – 2.

3x – 6 – 4x – 4 < 2x – 6 – 2

3x – 4x – 2x < 6 + 4 – 6 – 2

–3x < 2

tengsizlikni qanoatlantiruvchi x sonlar to‘plami son o‘qida nur bilan tasvirlanadi. nuqta bu nurga tegishli emas, 1- rasmda u oq doiracha bilan, nur esa qiya chiziqchalar bilan hoshiyalangan.

x sonlarning, masalan, tengsizlikni qanoatlantiruvchi to‘plami ham nur deyiladi. x = 2 nuqta shu nurga tegishli. 2- rasmda bu nuqta qora doiracha bilan tasvirlangan.

3- m a s a l a . Tengsizlikni yeching:

Yechish. Tengsizlikning ikkala qismini 6 ga ko‘paytiramiz:

Qavslarni ochamiz va o‘xshash hadlarni ixchamlaymiz:

Bundan

Bu tengsizlikning yechimlari to‘plami, ya’ni sonlar to‘plami 3- rasmda tasvirlangan.

Qaralgan misollarda tengsizliklar soddalashtirilgandan keyin noma’lum oldida turgan koeffitsiyent nolga teng bo‘lmagan chiziqli tengsizlikka keltirildi. Ayrim hollarda bu koeffitsiyent nolga teng bo‘lishi mumkin.


Shunday tengsizliklarga misollar keltiramiz.
4- m a s a l a . Tengsizlikni yeching:

Tengsizlikning ikkala qismini soddalashtiramiz:

Bundan

Oxirgi tengsizlik x ning istalgan qiymatida to‘g‘ri bo‘ladi, chunki uning chap qismi istalgan x da nolga teng hamda 0 > – 5. Demak, x ning istalgan qiymati berilgan tengsizlikning yechimi bo‘ladi.

J a v o b : x — istalgan son.
5- m a s a l a . Tengsizlikni yeching:

Tengsizlikning chap qismini soddalashtiramiz:

Bundan

Oxirgi tengsizlik yechimga ega emas, chunki tengsizlikning chap qismi x ning istalgan qiymatida nolga teng hamda 0 > 1 tengsizlik noto‘g‘ri.

Demak, berilgan tengsizlik yechimga ega emas.
J a v o b : yechimlari yo‘q.