O'zgarmas koeffitsientli bir jinsli bo'lmagan chiziqli differensial tenglamalarda o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli. Reja

O'zgarmas koeffitsientli bir jinsli bo'lmagan chiziqli differensial tenglamalarda o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli.

Reja:

1. 
   Diferensial tenglamar haqida tushincha.
   
2. 
   O'zgarmas koeffitsientli bir jinsli bo'lmagan chiziqli differensial tenglamalar.
   
3. 
   O’zgarmaslarni variatsiyalash usullari.
   

Differensial tenglamalar — nomaʼlum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalar. Bu tenglamalarda nomaʼlum funksiya i orqali belgilangan boʻlib, birinchi ikkitasida i bitta erkli oʻzgaruvchi t ga, keyingilarida esa mos ravishda x, t va x, u, z erkli oʻzgaruvchilarga bogʻliqdir. Differensial tenglama nazariyasi 17-asr oxirida differensial va integral hisobning paydo boʻlishi bilan bir vaqtda rivojlana boshlagan. Differensial tenglama matematikada, ayniqsa, uning tatbiklarida juda katta ahamiyatga ega. Fizika, mexanika, iqtisodiyot, texnika va boshqa sohalarning turli masalalarini tekshirish differensial tenglamani yechishga olib keladi. 2. Xususiy hosilali differensial tenglama Bu tenglamalarning oddiy differensial tenglamadan farqli muhim xususiyati shundan iboratki, ularning barcha yechimlari toʻplami, yaʼni "umumiy yechimi" ixtiyoriy oʻzgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bogʻliq boʻladi; umuman, bu ixtiyoriy funksiyalarning soni differensial tenglamaning tartibiga teng; ularning erkli oʻzgaruvchilari soni esa izlanayotgan yechim oʻzgaruvchilari sonidan bitta kam boʻladi. Bir nomaʼlumli 1-tartibli xususiy hosilali Differensial tenglamani yechish oddiy differensial tenglama sistemasini yechishga olib keladi. Tartibi birdan yuqori boʻlgan xususiy hosilali differensial tenglama nazariyasida Koshi masalasi bilan bir katorda turli chegaraviy masalalar tekshiriladi.
Differensial tenglama deb erkli o’zgaruvchi x, noma’lum y=f(x) funksiya va uning u', u'’,.....,u(n) hosilalari orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi. Agar izlangan funksiya y=f(x) bitta erkli o’zgaruvchining funksiyasi bo’lsa,
u holda differensial tenglama oddiy differentsial tenglama, bir nechta
o’zgaruvchilarning funksiyasi bo’lsa u=U(x1, x2,...., xn) xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Differensial tenglamaning tartibi deb tenglamaga kirgan hosilaning eng yuqori tartibiga aytiladi. Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb differensial tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday y=f(x) funksiyaga aytiladi. Birinchi tartibli differentsial tenglama umumiy holda quyidagi ko’rinishda bo’ladi. F(x,y,y’)=0 Agar bu tenglamani birinchi tartibli xosilaga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, u holda y’=f(x,y) tenglamaga ega bo’lamiz. Odatda, tenglama hosilaga nisbatan yechilgan tenglama deyiladi. tenglama uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema o’rinli : Teorema. Agar tenglamada f(x,y) funksiya va undan y bo’yicha olingan df/dy xususiy hosila X0Y tekisligidagi (x0,y0) nuqtani o’z ichiga oluvchi biror sohada uzluksiz funksiyalar bo’lsa, u holda berilgan tenglamaning y(x0)=y0 shartni qanoatlantiruvchi birgina y=(x) yechimi mavjud. x=x0 da y(x) funksiya y0 songa teng bo’lishi kerak degan shart boshlang’ich
shart deyiladi: y(x0)=y0
Birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb
bitta ixtiyoriy C o’zgarmas miqdorga bog’liq quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi y=(x,с) funksiyaga aytiladi:a) bu funksiya differensial tenglamani ixtiyoriy с da qanoatlantiradi;b) x=x0 da y=y0 boshlang’ich shart har qanday bo’lganda ham shunday с=с0 qiymat topiladiki, y=(x,с0) funksiya berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiradi. Umumiy yechimni oshkormas holda ifodalovchi F(x,y,с)=0 tenglik differentsial tenglamaning umumiy integrali deyiladi. Ixtiyoriy с - o’zgarmas miqdorda с=с0 ma’lum qiymat berish natijasida y=(x,с) umumiy yechimdan hosil bo’ladigan har qanday y=(x,с0) funksiya xususiy yechim deyiladi. F(x,y,с0) - xususiy integral deyiladi. Differensial tenglama uchun dy/dx=с=const munosabat bajariladigan nuqtalarning geometrik o’rni berilgan differensial tenglamaning izoklinasi deyiladi.
Agar differensial tenglamadagi noma’lum funksiya ikki va undan ortiq ko’p argumentlarga bog’liq bo’lsa, u xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Bunday tenglamalarning nomidan ko’rinib turubdiki, ularda funksiyaning erkli argumentlari bo’yicha xususiy hosilalari qatnashadi.
Oddiy differensial tenglamalardagi kabi xususiy hosilali differensial
tenglamalar ham cheksiz ko’p yechimlarga ega. Bu yechimlarga umumiy
yechimlar deyiladi. Xususiy yechimlar umumiy yechimlardan ma’lum shartlar
asosida ajratiladi. Bu qo’shimcha shartlar tenglama qaralayotgan sohaning odatda chegarasida beriladi. Xususiy hosiladagi erkli o’zgaruvchilardan biri vaqt bo’lishi ham mumkin. Bunday fizik va texnik masalalar amalda ko’p uchraydi. Qo’shimcha shartlar sifatida bunday tenglamalar uchun vaqtning biror belgilangan qiymatida izlanuvchi funksiyaning qiymatlari ishlatiladi. Masalan,shart boshlang’ich vaqt t=0 da (yoki umuman t=t0 =const) berilishi mumkin. Bunday shartga biz boshlang’ich shart deymiz. Qo’shimcha shartlar soha chegarasida berilsa, bunday masalaga chegaraviy
masala deyiladi.

Matematikadan fizika, mexanika, astronomiya sohasida unumli foydalanib kelinayotganligi hammaga ma’lum. Hozirda matematika iqtisodga, biologiyaga, tibbiyotga, texnikaga va boshqa sohalarga chuqur kirib boryapti. Aytilgan sohalarda ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar bilan tavsiflanadi. Shuning uchun bunday tenglamalarni o’rganish muhim ahamiyat kasb etadi.

Noma’lum funksiyaning hosilasi (yoki differensiali) albatta qatnashadigan tenglama differensial tenglama deyiladi.
Agar noma’lum funksiya bir argumentli bo’lsa, tegishli tenglama oddiy differensial tenglama, ko’p argumentli bo’lsa, xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
Misol sifatida quyidagi differensial tenglamalarni keltirish mumkin:

1. 
   (radiaktiv parchalanish tenglamasi),
   
2. 
   (Puasson tenglamasi),
   
3. 
   (chiziqli ossillyator tenglamasi),
   
4. 
   (issiqlikning tarqalishi tenglamasi).
   

Differensial tenglamada qatnashayotgan noma’lum funksiya hosilalarining (differensiallarining) eng yuqori tartibi shu differensial tenglamaning tartibi deyiladi. Masalan, yuqorida keltirilgan tenglamalardan birinchisi 1-tartibli, uchinchisi 2-tartibli oddiy differensial tenglama bo’lsa, ikkinchi va to’rtinchilari 2-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalardir.