O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar

Differentsial tenglama tushunchasiga olib keladigan masalalar. Birinchi tartibli differentsial tenglamalar. O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differentsial tenglamalar. Birinchi tartibli bir jinsli tenglamalar. Bir jinsliga keltiriladigan tenglamalar. Birinchi tartibli chiziqli differentsial tenglamalar

O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar.

Ushbu M(x)dxQN(u)duq0 ko’rinishdagi tenglamaga o’zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama deyiladi. Uning o’ziga xos tomoni shundaki, dx oldida faqat x ga bog’liq ko’paytuvchi, dy oldida esa faqat u ga bog’liq ko‘paytuvchi turadi. Bu tenglamaning yechimi uni hadma-had integrallash yo’li bilan aniqlanadi:

 M(x)dx  N(y)dyC

Differensial tenglamaning oshkormas holda ifodalangan yechimi bu tenglamaning integrali deyiladi. Integrallash doimiysi S ni yechim uchun qulay ko’rinishda tanlash mumkin.

260- misol: tgxdx-ctgydyq0 tenglamaning umumiy yechimini toping.

Echish: Bu yerda o’zgaruvchilari ajralgan tenglamaga egamiz. Uni hadma-had integrallaymiz:

 tgxdx - ctgydyC yoki –lncosx-lnsinyq-ln

Bu yerda integrallash doimiysi S ni – ln, ya’ni Sq - ln

orqali belgilash qulaydir, bundan

ln sin y ∙ cos x qln yoki sin y ∙ cos x q umumiy integralni topamiz.

Tahrif.

y' q ₁(x)₂(y) (1)

ko’rinishdagi tenglamalar o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar deb ataladi, bu yerda ₁(x) va ₂(y) uzluksiz funksiyalar.

(1) tenglamani yechish uchun unda o’zgaruvchilarni ajratish kerak. Buning uchun (1) da uni o’rniga dy/dx ni yozib, tenglamaning ikki tomonini ₂(y) 0 ga bo’lamiz va dx ga ko’paytiramiz. U o’olda (1) tenglama

(2)

ko’rinishga keladi. Bu tenglamada x o’zgaruvchi faqat o’ng tomonda, u o’zgaruvchisi esa chap tomonda ishtirok etyapti, ya’ni o’zgaruvchilar ajratildi. (2) tenglikni har ikki tomonini integrallab,

ekanligini hosil qilamiz, bu yerda S ixtiyoriy o’zgarmas.

261-misol. y'qy/x tenglamani yeching.

Echish. Berilgan tenglama (2) ko’rinishdagi tenglama, bu yerda ₁(x) q 1/x va ₂(y)qu. O’zgaruvchilarni ajratib, tenglamani h’osil qilamiz. Uni integrallab , S0 yoki lnyqlnxQlnC va bu tenglikni potentsirlab, yqCx umumiy yechimni topamiz.

Faraz qilaylik, uqSx umumiy yechimdan x₀q1, u₀q2 boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechim topish talab

qilinyapti. Bu qiymatlarni uqS∙x ga x va u larni o’rniga qo’yib, 2qS∙1 yoki Sq 2 ni topamiz. Demak, xususiy yechim yq2x ekan.

262-misol Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.

Echish: Tenglamani yechish uchun uning har ikki tomonini ifodaga bo’lib yuboramiz va o’zgaruvchilarini ajratamiz.

tenglikni ikkala tomonini integrallaymiz.

s ning ixtiyoriyligidan foydalansak ga almashtirsak , u holda umumiy yechim quyidagicha bo’ladi.

Darsda yechish uchun misollar

Differensial tenglamalarni umumiy yechimini toping.

1112. 
      263.
      
1113. 
      264 .
      
1114. 
      265.
      
1115. 
      266.
      
1116. 
      267.
      
1117. 
      268.
      
1118. 
      269.
      
1119. 
      270.
      
1120. 
      271.
      
1121. 
      272.
      

1112. 
      
      
1113. 
      Mustaqil uy vazifasi uchun misollar
      
1114. 
      Differensial tenglamalarni umumiy yechimini toping.
      

1112. 
      273.
      
1113. 
      274.
      
1114. 
      275.
      
1115. 
      276. shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni toping
      
1116. 
      277. shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni toping
      
1117.