O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar

2-§. Birinchi tartibli bir jinsli va bir jinsliga keltiriladigan differentsial tenglamalar.

1-Ta’rif. f(x,y) funksiya x va u o’zgaruvchilarga nisbatan n- o’lchovli bir jinsli funksiya deb ataladi, agarda ixtiyoriy  uchun

f(x, y)q ⁿf(x,y)

ayniyat o’rinli bo’lsa.

278-misol. f(x, y) funksiya bir o’lchovli bir jinsli funksiya, chunki f(x, y)

279-misol. f(x, y)qxy-y² funksiya 2-o’lchovli bir jinsli funksiya, chunki f (x, y)q (x)∙(y)- (y)²q²(xy- y²) q² f(x,y)

280-misol. funksiya 0- o’lchovli bir jinsli funksiya, chunki

.

2-tahrif. Birinchi tartibli

(3)

differensial tenglama x va u ga nisbatan bir jinsli differensial tenglama deb ataladi, agarda f(x, y) funksiya x va u ga nisbatan 0- o’lchovli bir jinsli funksiya bo’lsa.

Bir jinsli differensial tenglamani yechish. Faraz qilaylik, (3) bir jinsli differensial tenglama berilgan bo’lsin, u holda shartga ko’ra

f(x, y)q f(x,y). Bu ayniyatda deb olsak, f(x, y)q f(1, ) ni hosil qilamiz. Bu holda (3) tenglama quyidagi ko’rinishga keladi:

(4)

(4) da , ya’ni yqu∙x almashtirish bajaramiz.

U holda ni hosil qilamiz. Hosilaning bu ifodasini (4) ga qo’yib, yoki tenglikni hosil qilamiz. Bu esa o’zgaruvchilari ajralgan differensial tenglamadir. Integrallab quyidagini topamiz:

, .

Integrallarni topgandan so’ng u qrniga ni qo’yib, berilgan tenglamaning integralini ko’rinishida topamiz.

281-misol. tenglamani yeching.

Echish. Tenglamaning o’ng tomonidagi funksiya 0-o’lchovli bir jinsli funksiya bo’lgani uchun tenglama bir jinsli differensial tenglama, shuning uchun almashtirishni bajaramiz. U holda yqux, . Bularni tenglamaga qo’yib yoki va o’zgaruvchilarni ajratib, , ya’ni tenglamaga kelamiz.

Integrallash natijasida yoki munosabatlarni hosil qilamiz. Oxirgi tenglikda u o’rniga ni qo‘yib, tenglamaning umumiy integralini topamiz. Ko’rinib turibdiki, u ni x orqali elementar funksiyalar yordamida ifodalab bo’lmaydi. Biroq x ni u orqali ifodalash mumkin: