P soni haqida e soni haiqda Fibonachchi1 sonlari

7- xossa. .
8- xossa. .
9- xossa.
.
10- xossa. .
Endi Fibonachchi sonlarining binomial koeffitsientlar (Paskal uchburchagi) bilan bog‘lanishini ifodalovchi xossani o‘rganamiz.
11- xossa. Fibonachchi soni ( ) uchun tenglik o‘rinlidir.
Bu xossani isbotlash uchun ( ) sonlardan tuzilgan ketma-ketlikning Fibonachchi qatori bo‘lishini ko‘rsatish kifoya. Buning uchun esa
,

ekanligini ta’kidlab, ketma-ketlik uchun ( ) rekurrent tenglikning bajarilishini ko‘rsatamiz.
Agar juft son ( , ) bo‘lsa, u holda
,
,

tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengliklardan foydalanib,



munosobatlarni hosil qilamiz. Binomial koeffitsientlarning xossasiga binoan



tengliklarga ega bo‘lamiz.
toq son bo‘lganda ham, yuqoridagidek mulohazalar yuritib, ( ) tenglikning to‘g‘riligini ko‘rsatish mumkin. Demak, Fibonachchi qatorining ta’rifiga asosan, ketma-ketligi Fibonachchi qatoridir. ■
Yuqorida ta’kidlanganidek, tenglik Fibonachchi sonlari bilan Paskal uchburchagi orasida bog‘lanishni ifodalayi. 1- shaklda tasvirlangan Paskal uchburchagidagi shtrixli chiziqlar bo‘ylab joylashgan sonlar yig‘indisi Fibonachchi sonlarini tashkil etadi.
12- xossa. Fibonachchi soni ( ) uchun tenglik o‘rinlidir.

Bu xossani isbotlash maqsadida, avvalo, haqiqiy son uchun tenglik o‘rinli bo‘lsin deb faraz qilib, , , , va hokazo darajalarni orqali ifodalaymiz:
,
,
,
va hokazo.
Bu ifodalardan ko‘rinib turibdiki, ulardagi ozod hadlar ham, ning koeffitsientlari ham Fibonachchi sonlaridan iboratdir.
Matematik induksiya usulidan foydalanib, agar Fibonachchi soni bo‘lsa, u holda ixtiyoriy natural sonlar uchun formulaning to‘g‘riligini ko‘rsatamiz.
Haqiqatdan ham, bo‘lganda tenglikka ega bo‘lamiz, ya’ni baza bajarildi.
Induksion o‘tish: bo‘lgan hol uchun formula to‘g‘ri bo‘lsin. U holda bo‘lganda quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:


.
Demak, .
Shunday qilib, va ixtiyoriy natural sonlar uchun Fibonachchi soni bo‘lsa, u holda formula to‘g‘ri ekanligi isbotlandi.
Endi tenglikni kvadrat tenglama sifatida qarab, uning biri musbat, ikkinchisi manfiy ikkita va ildizlarini topamiz. formulaga ko‘ra,

Bu tengliklarni va noma’lumlarga nisbatan tenglamalar sistemasi deb qaraymiz va uni hal qilib, 12- xossaning isbotiga ega bo‘lamiz. ■
Shunisi ajoyibki, 12- xossaga binoan, butun qiymatli son irratsional sonlardan iborat bo‘lgan kvadrat ildizlar orqali ifodalanmoqda. 12- xossani ifodalovchi tenglik Bine⁵ formulasi deb yuritiladi.
Kesmani bo‘laklarga bo‘lishda oltin kesim tushunchasini eslaylik. Berilgan kesmaning oltin kesimi deb uni shunday ikki qismga ajratish tushuniladiki, bu yerda butun kesma uzunligining katta qism uzunligiga nisbati va katta qism uzunligining kichik qism uzunligiga nisbati o‘zaro tengdir. Bu nisbatning qiymati ga teng bo‘lishini aniqlash qiyin emas. “Oltin kesim” iborasining mazmuni shu bilan ham tasdiqlanadiki, masalan, tomonlari uzunliklarining nisbati songa yaqin bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak inson ko‘ziga yoqimli bo‘lib ko‘rinishi qadim zamonlardayoq ma’lum bo‘lgan. Yana shunisi ham qiziqarliki, , .

Hayratlanarlisi shuki, Fibonachchi sonlari tabiatning turli narsa va hodisalarida kutilmaganda namoyon bo‘lishadi. Masalan, ular kungaboqarning urug‘lari joylashgan “savat”ida osonlik bilan sanab aniqlash mumkin bo‘lgan spirallar (aniqrog‘i spirallar yoylari) sonlari sifatida paydo bo‘ladi (2- shaklga qarang). Kungaboqarning urug‘lari joylashgan savatida logarifmik spirallarning⁶ ikki oilasini kuzatish mumkin. Bu oilalardan birining spirallari aylanishi soat millari yo‘nalishida, ikkinchisiniki esa teskari yo‘nalishda bo‘ladi.
Botanikada spirallar oilalarining bunday joylashishini fillotaksis⁷ deb atashadi. Oilalardagi spirallar sonlari Fibonachchi qatorida ketma-ket joylashgan ikkita Fibonachchi sonlaridan iborat bo‘lishadi. Ular kungaboqar savatining kattaligiga qarab 34 va 55, yoki 55 va 89, yoki 89 va 144 bo‘lgan Fibonachchi sonlari juftliklarini tashkil etishadi. Tabiatda, hattoki, spirallar sonlari 144 va 233 bo‘lgan ulkan kungaboqar savati ham uchraydi! Kungaboqar fillotaksisi va Fibonachchi sonlari orasidagi bu aloqani birinchi bo‘lib E. Lyuka e’lon qilgan edi.