Parabolik tenglamali aralash chegaraviy masalani yuqori aniqlikdagi chekli ayirmalar usuli bilan yechish pdf

pc (3)

ðt 0x2
Boshlang'ich va chegaraviy shartlar quyudagicha yoziladi:
t T - To,

Ta, t > 0 (4)

1 -rasm. Tadqiqot Tb, obyekti sxemasi.
Qaralayotgan masalaning to' la matematik qo'yilishini berish uchun birqiymatlilikning fizik shartlarini ham berish zarur. Agar plastinka po'latdan tayyorlangan bo'lsa, u holda uning - issiqlik o'tkazuvchanlik koeffisiyenti; p zichligi, c — solishtirma issiqlik sig'imi quyidagicha:
kg
= 46 7800 c = 460
To'la matematik qo'yilgan bu masalani teng o'lchovli to'rdagi chekli ayirmalar usuli bilan yechamiz. Buning uchun plastinkani qalinligi bo'yicha IV-I ta teng kesmalarga bo'lamiz, ya'ni chekli ayirmali to'rni tuzamiz (2-rasm):

2-rasm. Chekli ayirmali to'r: x₂,x₃,…,x_N-1 - ichki tugunlarning koordinatalari;
XI,XN - chegaraviy tugunlarning koordinatalari.
i-chi tugundagi temperaturaning t = tn = T vaqt momentidagi qiymatini T (Xi, tn) Ti^ll kabi aniqlaymiz. Bu yerda vaqt koordinatasi bo'yicha integrallash qadami; n — vaqt bo'yicha qadam nomeri.
(3) tenglamalardagi differensial operatorlarni ularning chekli-ayirmali analoglari bilan almashturamiz. Oshkormas sxemadan foydalanamiz.

Xususiy hosilalarni mos chekli ayirmalar bilan almashtirish natijasida quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

pc

Xususiy hosilalarni approksimatsiyalashning tanlangan sxemasini graflk ko 'rinishda 3-rasmdagidek tasvirlash mumkin:
3-rasm foydalanilayotgan to'rtnuqtali oshkormas ayirmali sxemada yangi vaqt qatlamida uchta nuqta va eski vaqt qatlamida esa bitta nuqta olinayotganini yaqqol ko 'rsatadi.

3-rasm. To'rtnuqtali oshkormas ayirmali sxema shabloni.
Hosilalarni bunday approksimatsiyalash usłubi oshkormas deb atalishiga sabab vaqtning yangi qatlamidagi temperaturalar maydoni oshkormas ifodalangan, ya'ni ulami aniqlash uchun (5) tenglamalar sistemasini yechish zarur.
Hosil bo' Igan tenglamalar sistemasini quyidagicha umumiy ko'rinishga keltirish mumkin:
(6) bu yerda
21 pc pc
112
Bunday tenglamalar ikkinchi tartibli uch nuqtali deb ataladi. (6) sistema uch diagonally tuzilmaga ega. Shuning uchun nostatsionar masala qaralayotganligi sababli (6) sistemani har bir vaqt qadamida yechish zarur.
Faraz qilaylik, shunday va Pi (i — 1,2,. . , N — 1) sonlar ketma-ketligi mavjudki, ular uchun
TIZ+I + (7)
tenglik o'rinli, ya'ni ikkinchi tartibli uch nuqtali (6) tenglama birinchi tartibli ikki nuqtali (7) tenglamaga aylanadi. (7) tenglikda indeksni bittaga kamaytiramiz va hosil bo' Igan ushbu ifodani (6) tenglamaga qo'yamiz:
I'll +1
Bu yerdan esa

Oxirgi tenglik (7) ko'rinishida va u bilan aynan mos boladi, agar barcha i — 2,3, . . , N — 1 lar uchun quyidagi munisabatalr bajarilsa:
(8)
Bu yerdagi barcha at va /3î larni aniqlash uchun chap chegaraviy shartlardan topiladigan al va /31 larni bilisimiz zarur.
Endi (7) formula bo'yicha ketma-ket T IV—I' TN —2" , larni topish mumkin, agar faqatgina o 'ng chegaraviy shardan TT\ +I topilgan bo'lsa.
Shunday qilib, (6) ko'rinishdagi tenglamaning yechimini yuqoridagidek izlash uslubi haydash (progonka) usuli deb atalib, uchta formula bo'yicha hisoblashlarga olib kelinadi: (8) formulalar bo'yicha progonka koeffisiyentlari deb

ataluvchi at va /3i (i mula bo'yicha Ti^ll+1 (i=N-1,N-2	2,3,. . , N — 1) lar (to'g'ri progonka) va keyin esa (7) for2) noma'lumlar topiladi (teskari

progonka).
Progonka usulini muvaffaqiyatli qo'llash uchun hisoblashlar jarayonida nolga bo'lish holati paydo bo'lmasligi va katta o'lchamli sistemalarda yaxlitlash xatoligi tez oshib ketmasligi lozim.
Progonkani korrekt deb ataymiz, agar (8) formulalarda progonka koeffisiyentlarining maxrajlari nolga aylanmasa va uni ustovor deb aytamiz, agar barcha i = 1,2, . . , N — 1 lar uchun lad < 1 shart bajarilsa.
(6) tenglamalar progonkasining korrektligi va ustivorligining yetarli sharti
IBII > + Iql , va lall < l — < 1 (9)
ushbu usulning ko 'Plam tadbiqlarida o'z-o'zidan bajariladi.
(5) sistemaga qaytib, progonka koeffisiyentlarini aniqlaymiz va olingan sistemani yechishning to'la algoritmini tuzamiz.
Ma'lumki, x 0 da Ta , u hołda
czł • T/ą+l + _T_a
Bu yerdan esa ał 0, PI Ta.
Xuddi shunday, x=L da =T u hołda

IV—I
Bu yerdan esa
Progonka koeffisiyentlari (8) formulalardan hisoblanadi.
Shunday qilib, (3)-(4) differensial masalani approksimatsiyalovchi ayirmali munosabatlar quyidagi ko 'rinishga keladi:
(10)
T_i – T₀, i - 2,3, w..,N - 1•
(11) TNĘ - Tb, n» o.
(3)-(4) differensial masalaning approksimatsiyasi (10)-(11) bo'lib, t vaqt bo'yicha birinchi va x fazoviy koordinata bo'yicha ikkinchi tartibli aniqlikda bajarilgan. Bu oshkormas ayirmali sxema absolyut ustivor, ya'ni (3)-(4) chegaraviy masalani vaqt bo'yicha ixtiyoriy ayirmali qadam bilan integrallash mumkin. Vaqt bo'yicha qadam shunday tanlanadiki, to'la kuzatuv vaqtining intervali hech bo'lmaganda kamida 10 ta qadamga bo'linishi lozim.
Masalani sonli yechishning algoritmi va dasturi quyida keltirilgan.
Bir o'lchovli issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasini oshkormas ayirmali sxema yordamida sonli yechishning algoritmi:
l. Kiritiladigan ma'lumotlar: N, tk, L, 1, p, c, Tl, T2, To.

2. 
   Fazoviy koordinata bo'yicha to 'r hisob qadami: h IV—I
   
3. 
   Vaqt bo'yicha to 'r hisob qadami 100
   
4. 
   Boshlang'ich temperatura maydoni: Tł^o To, i=1,2,…,
   
5. 
   Vaqt hisobining boshlanishi time O.
   
6. 
   Vaqt hisobining tugashini tekshirish:
   

agar time tk shart bajarilsa 13-qadamga, aks hołda 7-qadamga o'tish.

2. 
   Vaqt hisobini bir qadamga oshirish: time time + T.
   
3. 
   Ayirmali to'rning l-tuguni uchun progonka koeffisiyentlari: ał 0, PI Ta
   
4. 
   Ayirmali to'rning qolgan tuguni uchun progonka koeffisiyentlari:
   

2. 
   Ayirmali to 'rning oxirgi tuguni uchun progonka koeffisiyentlari:
   

2. 
   Temperatura maydonini hisoblash
   

— T/ą++ll + i - N- 1,N- 2,... 1

2. 
   6-qadamga qaytish.
   
3. 
   Natijalarni jadval va grafik ko 'rinishda pechatga chiqarish.
   

Dastur matni I-ilovada keltirilgan.
Keltirilgan dastur bo'yicha hisob natijalari ushbu kg
L — 0,1 m,p- 7800• kg • 'C

T_o- 20 ^a c,

qiymatlarda olindi, bu yerda L — plastinka qalinligi; - issiqlik o'tkazuvchanlik koeffisiyenti; p - zichligi, c — solishtirma issiqlik sig'imi; To — boshlang'ich temperatura; Ta , Tb — plastinka chetlaridagi temperatira. Isish jarayonining t=60 s vaqt momentidagi holati 4-rasmda tasvirlangan.

4-rasm. Plastinka qalinligi bo'ylab t=60 s vaqt momentida temperaturaning taqsimlanishi.
2-masala. Yuqorida ta'kidlaganimizdek, hisob sxemasi oshkormas, ya'ni temperatura maydonini aniqlash uchun chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish lozim bo'ladi. Bundan tashqari, oshkor sxema ham mavjud. Bu sxema bo'yicha temperatura maydoni oshkor aniqlanadi va bunda at va /3i progonka koeffisiyentlarini aniqlash uchun tenglamalar sistemasini yechishga hojat YO 'q.
Oshkor sxemaning oshkormas sxemadan farqi diffusion qo'shiluvchini approksimatsiyalashda, ya'ni aynan vaqt qatlamida temperaturaning noma'lum maydoni quyidagicha:

Shunday qilib, xususiy hosilalami ozining mos chekli ayirmalari bilan approksimatsiyalash natijasida temperatura maydonini aniqlashning quyidagi munosabatiga kelamiz:
, i – 2,3,…,N-ı,n ş o (10)
Oshkor sxemani grafik korinishda 5-rasmdagidek tasvirlash mumkin.

ÜDÜDOOommm

5-rasm. To'rtnuqtali oshkor ayirmali sxema shabloni.
5-rasmdagi shablondan ko'rinadiki, noma'lum temperatura maydonini aniqlash uchun at va progonka koeffısiyentlarini aniqlashning tenglamalari sistemasini yechish talab qilinmaydi. Asosiy hisob formulasi quyidagicha:
i – 2,3,…,N-1,71 - o (12)
va chegaraviy shartlarning ayirmali holati quyidagicha:
İ - 2,3, - ı,
Tın (13)
Shunday qilib, plastinkada temperaturaning har xil vaqt momentlaridagi taqsimotini topish uchun sodda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qildik. (3)-(4) differensial masalaning (12)-(13) approksimatsiyasi ham, xuddi yuqoridagidek, t vaqt bo'yicha birinchi va x fazoviy koordinata bo'yicha ikkinchi tartibli aniqlikda bajarilgan. (12)-(13) chekli ayirmali masalaning yechimi (3)-(4) differensial masalaning yechimiga yaqinlashishi uchun quyidagi shart (ayirmali sxemaning ustivorlik sharti) bajarilishi yetarli:
pch2
Ana shu shartdan vaqt koordinatasi bo'yicha integralladh qadami aniqlanadi.
Shunday qilib, oshkor ayirmali sxema shartli ustivor va uning qo'llanilishi uchun baholash bo'yicha maxsus tekshuruv talab qilinadi.
Masalani sonli yechishning algoritmi va dasturi quyida keltirilgan.
Bir o'lchovli issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasini oshkor ayirmali sxema yordamida sonli yechishning algoritmi:

1. 
   Kiritiladigan ma'lumotlar: N, tk, L, 1, p, c, Tl, T2, To
   
2. 
   Issiqlik o'tkazuvchanlik koeffisiyentini hisoblash:
   
3. 
   Fazoviy koordinata bo'yicha to 'r hisob qadami: IV—I
   

h2

4. 
   Vaqt bo'yicha to'r hisob qadami: T —
   
5. 
   Boshlang'ich temperatura maydoni: Ti⁰ To, i - 1,2, ..„N
   
6. 
   Plastinka chetlarida temperaturaning qiymatini aniqlash: Tl
   
7. 
   Vaqt hisobining boshlanishi time O
   
8. 
   Vaqt hisobining tugashini tekshirish:
   

agar time tk shart bajarilsa 13-qadamga, aks hołda 9-qadamga o'tish.

9. 
   Vaqt hisobini bir qadamga oshirish: time time + T
   
10. 
    Avvalgi vaqt qadamidagi temperaturaning qiymatini saqlab qolish:
    

TTi - Tiⁿ , i - 1,2, ...,N
I l. Temperatura maydonini hisoblash
i=2,3,…,N-1, n≥0

12. 
    6-qadamga qaytish
    
13. 
    Natijalarni jadval va grafik ko 'rinishda pechatga chiqarish.
    

Dastur matni 2-ilovada keltirilgan.
Keltirilgan dastur bo'yicha hisob natijalari ushbu kg
L - 0,1 171, 1-46 p - 7800— c - 460
To - 20 ^O C,
qiymatlarda olindi, bu yerda L — plastinka qalinligi; A - issiqlik o'tkazuvchanlik koeffisiyenti; p - zichligi, c — solishtirma issiqlik sig'imi; To — boshlang'ich temperatura; Ta , Tb — plastinka chetlaridagi temperatira. Isish jarayonining t—60 s vaqt momentidagi holati 6-rasmda tasvirlangan.
300

6-rasm. Plastinka qalinligi bo'ylab t—60 s vaqt momentida temperaturaning taqsimlanishi (oshkor ayirmali sxemadan foydalanilgan).
4- va 6-rasmlarni taqqoslab, hisoblangan temperatura maydonlari bir xil ekanligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin. Endi oshkor sxemaning kamchiligini pch2
ko'rsataylik. Ushbu oshkor sxemadan foydalanilganda ushbu T shart bajarilishi talab qilinadi. Ham oshkor va ham oshkormas sxemalar uchun pch2 holni qaraylik. Oshkor sxemaga asosan tuzilgan dastur bo'yicha hisoblashlar N—50, t—20 hołda hisoblandi. Qolgan N»50, t»20 hollarda hisob dasturi xatolik berdi va hisoblashlarni davom ettirishning imkoni bo'lmadi (7rasm).
7,a-rasmdan ko'rinadiki, oshkor sxemadan foydalanish uning noustivorligini xarakterlovchi ossilyatsiya paydo bo'lishiga Olib keladi. Oshkormas sxema esa korrekt natijani beradi (7,b-rasm).
Shulami e'tiborga Olib, keyingi hisoblashlarda oshkormas sxemadan foydalanish maqsadga muvofiq.

a
7-rasm. Plastinka qalinligi bo'ylab t—20 s vaqt momentida temperaturaning taqsimlanishi (a - oshkor sxema; b — oshkormas sxema).
4. Har Xil chegaraviy sharli issiqlik o'tkazuvchanlik masalalarni sonli yechish
I-masala.
Mis plastinkada vaqtning t=5, 10, 30, 60 s momentlarida temperatura maydonini aniqlaylik.
Quyidagi boshlang'ich ma'lumotlar berilgan:
L = 0,3 m — plastinkaning qalinligi;
To = 20 ⁰ C - boshlang'ich temperatura;
Misning teplofizik xarakteristikalari quyidagicha:
V t kg i = 384 8800 c= 381
m • ⁰C'
Plastinkaning x=0 chetiga q = 10 ⁷— issiqlik oqimi qo'yilgan, x=L che-
garasida esa tashqi muhitning ta' siri mavjud: k = 100 • = 300 ^c c.
Bu yerda L — plastinka qalinligi; - issiqlik o'tkazuvchanlik koeffisiyenti; p - zichligi, c — solishtirma issiqlik sig'imi; To — boshlang'ich temperatura; r tasqi muhit temperatirasi; k — tashqi muhitning issiqlik almashinish koeffisiyenti.
Masalaning matematik qo 'yilishi quyidagicha:
PC
ðt ðX2
Boshlang'ich va chegaraviy shartlar quyudagicha yoziladi:
0≤x
" - boshlang'ich shart;
X 0:
ðx - chegarada issiqlik oqimi qo'yilgan;
k(T ^ê - T), t > O .
ðx - chegarada tashqi muhit ta'siri bor.
Masalani sonli yechishning algoritmi va dasturi quyida keltirilgan.
Har xil chegaraviy sharli (bir chetida issiqlik oqimi, ikkinchi chetida esa tashqi muhit ta'siri berilgan) issiqlik o'tkazuvchanlik masalasini sonli yechishning algoritmi:
Kiritiladigan ma'lumotlar: N, tk, L, 1, p, c, q, k, T ^g, To
Issiqlik o'tkazuvchanlik koeffisiyentini hisoblash: a — pc
Fazoviy koordinata bo'yicha to 'r hisob qadami: IV—I
tk
Vaqt bo'yicha to'r hisob qadami:
100
Boshlang'ich temperatura maydoni: Ti⁰ To, i1,2,…
Vaqt hisobining boshlanishi time O
Vaqt hisobining tugashini tekshirish:
agar time tk shart bajarilsa 14-qadamga, aks hołda 8-qadamga o'tish.
Vaqt hisobini bir qadamga oshirish: time — time + T
Ayirmali to'rning 1-tuguni uchun progonka koeffisiyentlari: al, PI
2ať + 2cłT 1(h² + 2cłT)'
Ayirmali to'rning qolgan tuguni uchun progonka koeffisiyentlari:

Ayirmali to'rning oxirgi tuguni uchun temperaturani hisoblash: T?? +1

Bu yerda (k2 - o'ng chegaradagi issiqlik almashinish koeffisiyenti).
Temperatura maydonini hisoblash
Tn+l + i=N-1, N-2,…, 1.

10. 
    7-qadamga qaytish.
    
11. 
    Natijalarni jadval va grafik ko 'rinishda pechatga chiqarish.
    

Dastur matni 3-ilovada keltirilgan.
Masalani yechish natijasida 8-rasmda tasvirlangan temperatura taqsimoti olindi.

8-rasm. Plastinka qalinligi bo'ylab har xil vaqt momentlarida temperaturaning taqsimlanishi.
Garfikdagi hisob natijalaridan ko'rinadiki, plastinka qalinligi bo'ylab temperaturaning o'zgarishi ekponensial ravishda kamayib boradi, vaqt o'tishi bilan esa qiymatlar oshib boradi.
2-masala.
Mis plastinkada vaqtning t=30, 180, 600 s momentlarida temperatura maydonini aniqlaylik.
Quyidagi boshlang'ich ma'lumotlar berilgan:
L = 0,3 m — plastinkaning qalinligi;
To = 50 ⁰ C - boshlang'ich temperatura;
Misning teplofizik xarakteristikalari quyidagicha:
kg i = 384 8800 c= 381 • m • ⁰C' kg • ⁰C
Plastinka x=0 va x=L chetlarida tashqi muhit bilan tutashgan:
kl - 1000 - -30 ⁰C va k2 - 500 10 ^c c .
Bu yerda plastinka uchun:
L — plastinka qalinligi; - issiqlik o'tkazuvchanlik koeffisiyenti; p plastinka zichligi, c — solishtirma issiqlik sig'imi; To — boshlang'ich temperaturasi; tashqi muhit uchun:
r¹ , r² — plastinka chetlaridagi tasqi muhit temperatiralari; kl, k2 — plastinka chetlaridagi tashqi muhitning issiqlik almashinish koeffisiyentlari.
Masalaning matematik qo 'yilishi quyidagicha:
ð2T pc —
ðt ðX2
Boshlang'ich va chegaraviy shartlar quyudagicha yoziladi:
- boshlang'ich shart;

- chegarada tashqi muhit ta'siri berilgan;

- chegarada tashqi muhit ta' siri berilgan.

Masalani sonli yechishning algoritmi va dasturi quyida keltirilgan.
Har xil chegaraviy sharli (har ikkala chetida tashqi muhit ta'siri berilgan) issiqlik o'tkazuvchanlik masalasini oshkormas oshkormas sxema yordamida sonli yechishning algoritmi:

1. 
   Kiritiladigan ma'lumotlar: N, tk,L, 1, p, c, ki, k2, T ^AI TA2,T0
   
2. 
   Issiqlik o'tkazuvchanlik koeffisiyentini hisoblash: a — pc
   
3. 
   Fazoviy koordinata bo'yicha to 'r hisob qadami: IV—I
   

tk

4. 
   Vaqt bo'yicha to'r hisob qadami:
   

100

5. 
   Boshlang'ich temperatura maydoni: Ti⁰ To, i=1,2,…,
   
6. 
   Vaqt hisobining boshlanishi time O
   
7. 
   Vaqt hisobining tugashini tekshirish:
   

agar time tk shart bajarilsa 14-qadamga, aks hołda 8-qadamga o'tish.

8. 
   Vaqt hisobini bir qadamga oshirish: time — time + T
   
9. 
   Ayirmali to'rning 1-tuguni uchun progonka koeffisiyentlari: al, PI
   

10. 
    Ayirmali to'rning qolgan tuguni uchun progonka koeffisiyentlari:
    

11. 
    Ayirmali to'rning oxirgi tuguni uchun temperaturani hisoblash: TNĘ +1
    

17 ² +2' a • T (I + Bi2 — CLN-l)
R.PN_l +h.K2

12. 
    Temperatura maydonini hisoblash
    

• T/ł++ll + - N- 1,1V- 2 1

13. 
    7-qadamga qaytish
    
14. 
    Natijalarni jadval va grafik ko'rinishda pechatga chiqarish.
    

Dastur matni 4-ilovada keltirilgan.
Masalaning yechimi 9-rasmda tasvirlangan.

9-rasm. Plastinka qalinligi bo'ylab har xil vaqt momentlarida temperaturaning taqsimlanishi.
Garfikdagi hisob natijalaridan ko'rinadiki, plastinka qalinligi bo'ylab temperaturaning o'zgarishi parabola shaklida o'zgarib boradi, vaqt o'tishi bilan esa qiymatlar oshib boradi.
XULOSA
Mazkur bitiruv malakaviy ishining muhim natij alari quyidagilar:
amaliy matematika masalalarini matematik modellashtirish jarayonida xususiy hosilali differensial tenglamalar o'rganildi, ulami chekli ayirmalar (to'rlar) usuli bilan Pascal dasturi yordamida taqribiy yechishning muammolari o'rganildi, uni amalga oshirishning bosqichlari ishlab chiqildi; xususiy hosilali differensial tenglamalarni har xil oshkor va oshkormas sxemalar bilan yechish orqali ulami taqribiy yechishning imkoniyatlari ko'rsatildi, hisob algoritmiga oid tushunchalar bilan tanishildi, amaliy masalalar yechildi; olingan sonli yechimlar analitik yechimlar bilan taqqoslandi, hisob jarayonining to'g'ri ekanligi, algoritm va dasturdan samarali foydalanish mumkinligi ko'rsatildi; ishlab chiqilgan hisob metodikasi va yaratilgan hisob dasturiy vositasidan har xil xususiy hosilali parabolik tipdagi differensial tenglamalarga (xususan, issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamalariga) oid amaliy masalalarini yechishda samarali foydalanish mumkin; bir chetiga issiqlik oqimi, ikkinchi chetiga tashqi muhit ta'siri berilgan har xil teplofizik xarakteristikali plastinkada issiqlik tarqalishi masalasi yuqori aniqlikdagi chekli ayirmalar usuli bilan sonli yechildi; tadbiq uchun plastinkada issiqlik tarqalishiga oid aniq amaliy masalalar sonli yechildi, hisob algoritmi yaratildi, hisob dasturiy vositasi yuqori bosqichli algoritmik tilda tuzildi, natijalar taqqoslandi va tegishli xulosalar chiqarildi hamda amaliy tadbiq uchun tavsiyalar berildi.
Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati

1. 
   Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.:
   

Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2011. — 640 с.

2. 
   Бахвалов Н. С., Корнев А. А., Чижонков Е. В. Численные методы. Решения задач и упражнения. — М.: Изд-во Дрофа, 2009. — 400 с.
   

З. Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. — М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2010.
240 С.

4. 
   Беляев Н.М., Рядно А.А. Метод нестационарной теплопроводности. - М.:
   

Высшая школа. 1978. — 328 с.

4. 
   Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. — М.: Наука, 1962. — Т.
   

1. — 464 с. — Т. 2. — 639 с.

4. 
   Берковский Б.М., Ноготов Е.Ф. Разностные методы исследования задач теплообмена. — Минск: Наука и техника, 1976. — 141 с.
   
5. 
   Вержбицкий В. М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа,
   

2009. - 848 с.

4. 
   Волков Е. А. Численные методы. — М.: Наука, 1987. — 248 с.
   
5. 
   Воробьева Г.К., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. — М: Высшая школа, 1990. — 210 с.
   
6. 
   Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики.
   

М.: Наука, 1966. - 695 с.

4. 
   Жидков В.Н. Вычислительная математика. — М, Академия, 2010. — 208 с.
   
5. 
   Исраилов М.И. Хисоблаш усуллари. Тошкент: Укитувчи, 1 -кисм, 2003. - 450 6., 2-кисм, 2004. - 340 6.
   
6. 
   Калиткин Н.Н. Численные методы. с.П6.: изд-во БХВ-Петер6ург, 2011. - 592 с.
   
7. 
   Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислителная математика в примерах и задачах. — М.: Наука, 2008. — 368 с.
   
8. 
   Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные метощ. — М.: Наука, 1976. — Т. 1. - 302 с.
   
9. 
   Патанкар СВ. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах. - М.: Издательство МЭИ 2003. - 312 с.
   
10. 
    Петухов Б.С., Генин Л.Г., Ковалев СА. , Соловьев СЛ. Теплообмен в ядерных энергетических установках. — М.: Изд-во МЭИ, 2003. — 548 с.
    
11. 
    Пискунов НС. Дифференциальное и интегральное исчисления (том П). М.: Интеграл-пресс, 2002. — 410 с.
    
12. 
    Рихтмайер Р. Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.
    

М.: Издательство Мир, 1972. - 380 с.

4. 
   Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. - М.: Высшая школа.
   

2003. - 255с.

4. 
   Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1989. — 656 с.
   
5. 
   Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. — М.:
   

Едиториал УРСС, 2003. — 782 с.

4. 
   Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.—М.: Наука, 1989—432 с.
   
5. 
   Самарский А.А., Николаев ЕС. Методы решения сеточных уравнений.
   

М.: Наука, 1978. - 592 с.

4. 
   Сборник задач по методам вычислений. Учебное пособие / Под ред.
   

П.И.Монастырного. — 2-е изд. — Мн.: Университецкое, 2000. — 311 с.

4. 
   Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.:
   

Наука, 1977. - 736 с.

4. 
   Турчак Л. И. Основы численных методов. — М.: Наука, 1987. — 318 с.
   
5. 
   www.edu.ru — ta'lim sayti
   
6. 
   www.edu.uz — ta'lim sayti
   
7. 
   www.exponenta.ru — ta'lim sayti
   
8. 
   www.vikipedia.ru — ensiklopediya sayti
   
9. 
   www.ziyonet.uz — ilmiy-ma'rif1Y tarmoq