Parametr qatnashgan tenglama va tengsizliklar

PARAMETR QATNASHGAN TENGLAMA VA TENGSIZLIKLAR
Reja:

1. 
   Parametr qatnashgan tenglama va tengsizliklar
   
2. 
   Parametr qatnashgan kvadrat tenglamalar
   

Parametr qatnashgan tenglama va tengsizliklar
Parametr qatnashgan masalalarning o‘ziga xosligi shundaki, bunday
masalalarda berilgan noma’lumlar bilan birga son qiymati aniq ko‘rsatilmagan
parametrlar qatnashib, ularni biror to‘plamda berilgan ma’lum miqdorlar deb
qarashga to‘g‘ri keladi. Bunda parametrning qiymati masalani yechish jarayoniga va
yechimning ko‘rinishiga mantiqiy va texnik jihatdan katta ta’sir ko‘rsatadi.
parametrning aniq qiymatlarida masalaning javoblari bir–biridan keskin farq qilishi
mumkin.
1-misol. a parametrning qanday qiymatlarida 𝑎𝑥2 - 2(𝑎 + 1)𝑥 + 𝑎 - 3 = 0
tenglamaning barcha ildizlari manfiy bo‘ladi?
Yechish. a 0da tenglama bitta 3
2
x ildizga ega va u masala shartini
qanoatlantiradi.
a 0 bo‘lgan holni ko‘rib chiqamiz. Berilgan tenglamaning ikkala ildizi ham
manfiy bo‘lishi uchun quyidagi
1 2
1 2
0
0
0
D
x x
x x






shartlarning bajarilishi zarur va yetarli. Viet teoremasini tatbiq etib, bu shartlarni
quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
2
1 2
1 2
( 1) ( 3) 0
4
3
0
2( 1)
0
D
a a a
a
x x
a
a
x x
a








Bu sistemani yechib, 𝑎 ∈ [- 1 5 ; 0) ga ega bo‘lamiz. Ikkala holni birlashtirib
masalaning javobini 𝑎 ∈ [- 1 5 ; 0] deb olamiz.
Javob. 𝑎 ∈ [- 1 5 ; 0]
2- misol. p parametrning qanday qiymatlarida 2𝑥2 + (𝑝 - 10)𝑥 + 6 = 0
tenglamaning ildizlari nisbati 12 ga teng bo‘ladi?
Yechlishi:. Berilgan tenglama 𝐷 ≥ 0 bo‘lganda haqiqiy ildizlarga ega bo‘ladi.
Masala shartiga ko‘ra, 𝑥2 = 12𝑥1. Viet teoremasiga ko‘ra, quyidagi sistemani
tuzamiz:
2 2
2 1
2 1
1 2
1
2
1 2 1
10 48 0
20 52 0
12
12
10
10
2 13
2
6
3 12 3
2
D p
p p
x x
x x
p
x x p
x
x x x










Bu sistemaning yechimlari p p 3, 23 bo‘ladi.
Javob. p p 3, 23
3-misol. a parametrning qiymatlariga nisbatan x ax a x a a 3 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 0
tenglamaning eng kichik ildizini toping.
Yechilishi: Berilgan tenglamani x a x a x a 2 1 ( 1) 0 ko‘rinishda yozib
olamiz. Bu tenglamaning ildizlari:
x a x a x a 1 2 1 1, 1, 2 .
a parametrning 𝑥1eng kichik ildiz bo‘ladigan qiymatlarini topamiz. Quyidagi
sistemani yozamiz
1 1
1 1.
1 2
a a
a
a a



Agar 𝑥2eng kichik ildiz bo‘ladi, deb faraz qilsak, u holda
1 1
1,
1 2
a a
a
a a



va nihoyat, 𝑥3 eng kichik ildiz bo‘ladigan bo‘lsa,
2 1
1
2 1
a a
a
a a



larga ega bo‘lamiz. Agar a 1 bo‘lsa, x x 1 2 ildizlar teng bo‘ladi, agar a 1bo‘lsa,
x x 1 3 ildizlar teng bo‘ladi.
Javob. Agar a 1bo‘lsa, x a 1;agar 1 1 a bo‘lsa, 1; x a agar a 1bo‘lsa,
x a 1 2 .
4-misol. Tengsizlikni yeching.
2
2
2 3
0
4
a
x x
x



Yechish. a parametrning ixtiyoriy qiymatida berilgan tengsizlik suratining
diskriminanti manfiy emas: D 4(1 3 ) 0 a .
Agar 𝑎 = 0 bo‘lsa, u holda 𝐷 = 0 va tengsizlik

( 1)2
0
2 ( 2)
x
x x



ko‘rinishga keladi. Bu tengsizlikni intervallar metodi bilan yechib, x 2;1 (1;2) 
ga ega bo‘lamiz. Agar a 0 bo‘lsa, u holda a 0 bo‘lib, 3 1 a va diskriminant D 0
. Bundan, ixtiyoriy 𝑥 uchun x x 2 2 3 0 a tengsizlikning o‘rinli ekani kelib chiqadi.
Shuning uchun berilgan tengsizlikning yechimi x 2;2bo‘ladi.
Javob. Agara 0 bo‘lsa x 2;2, agar a 0bo‘lsa, 2;1 (1;2) x .
Parametr qatnashgan kvadrat tenglamalar

Umumiy o’rta ta’lim maktablari, akademik litsey va kasb-hunar kollejlari matematika kursida o’rganiladigan tenglamalar ichida kvadrat tenglama tushunchasi muhim o’rin egallaydi. Kvadrat tenglamadan tashqari ko’plab tenglamalarni yechish jarayonida ham ko’pincha kvadrat tenglamaga duch kelamiz. Shuning uchun ham o’quvchilarga kvadrat tenglama, uning turlari va ularni yechish usullarini mukammal o’rgatishimiz kerak.

• 28 -
  

ax²+bx+s=0 ko’rinishdagi tenglamaga kvadrat tenglama deyiladi. Bu yerda x-noma’lum miqdor, a,b,c lar haqiqiy sonlar va а Ф 0 bo’lib, ularni koeffitsentlar deyiladi.

D — b² — 4ac ifodaga kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi. Berilgan tenglamani ildizga ega yoki ega emasligi D ning qiymatiga bog’liq.

Agar D > 0 bo’lsa, berilgan tenglama ikkita har xil haqiqiy

—b±\lb²—4ac


^xi,₂ — Ya ildizlarga ega.

• 
  
  b
  

Agar D — 0 bo’lsa, berilgan tenglama ikkita o’zaro teng haqiqiy x_1>2 — — ildizlarga ega.

Agar D < 0 bo’lsa, berilgan tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas.

Kvadrat tenglamaning ildizlari bilan koeffitsentlari orasida quyidagi munosabatlar o’rinlidir.

b с

x₁ + x₂ — ,x₁ • x₂ — —

a a

Agar ax² + bx + с — 0 tenglamada a — 1 bo’lsa, tenglamani keltirilgan kvadrat tenglama deyiladi. Uni ko’pincha x² + px + q — 0 ko’rinishda yoziladi. Bu tenglama uchun Viet teoremasi deb ataluvchi quyidagi teorema o’rinlidir.

Teorema. Keltirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig’indisi qarama- qarshi ishora bilan olingan ikkinchi hadning koeffitsentiga, ko’paytmasi esa ozod hadga teng bo’ladi. Ya’ni,

X1+X2 — —p, Xi^X2 — q.

Keltirilgan kvadrat tenglamauchun D — p² — 4qbo’ladi.

Agar D — p² — 4q > 0 bo’lsa, u holda keltirilgan kvadrat tenglama x₁₂ —

^V±^2 ^—4Q~ dan iborat ikkita haqiqiy ildizlarga ega bo’ladi.

Agar D — p² — 4q — 0 bo’lsa, u holda tenglama ikkita o’zaro teng haqiqiy ildizlarga ega bo’ladi.

Agar D — p² — 4q < 0 bo’lsa, u holda tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lmaydi.

- 29 -

ах² + 2bx + с — 0 tenglamada D > 0 bo’lsa, u holda uning ildizlari


-ь+^ь²-


x_-2 — dan iborat bo’ladi.

^1,2 a

x² + 2px + q — 0 tenglamada D > 0 bo’lsa, u holda tenglamaning ildizlari x₁₂ — —p + ^p² — q dan iborat bo’ladi.

у — ax² + bx + с ning grafigi parabola deb ataladi va uning uchi

D (—;^{4ac b} ) nuqtada bo’ladi.

\2a 4a J ⁿ


_ -p-jp²-4g _ -p+jp²-4q

Agar x₁ — ^H —— va x₂ — ^H —⁴¹ lar x² + px + q — 0 keltirilgan

2

kvadrat tenglamaning ildizlari bo’lsa, u holda quyidagi teoremalar o’rinlidir:

1. Agar keltirilgan kvadrat tenglamada p > 0,q > 0 bo’lsa, u holda uning ildizlari uchun x₁ < x₂ < 0 tengsizlik o’rinli bo’ladi.

   
   

2. Agar keltirilgan kvadrat tenglamada p < 0,q > 0 bo’lsa, u holda uning ildizlari uchun 0 < x₁ < x₂ tengsizlik o’rinli bo’ladi.

   
   

3. Agar keltirilgan kvadrat tenglamada p > 0,q < 0 bo’lsa, u holda uning ildizlari uchun x₁ < 0 < x₂ tengsizlik o’rinli bo’ladi.

   
   

4. Agar keltirilgan kvadrat tenglamada p < 0,q < 0 bo’lsa, u holda uning ildizlari uchun x₁ < 0 < x₂ tengsizlik o’rinli bo’ladi.

   
   

5. Agar keltirilgan kvadrat tenglamada p > 0,q — 0 bo’lsa, u holda uning ildizlari uchun x₁ < x₂ — 0 tengsizlik o’rinli bo’ladi.

   
   

6. Agar keltirilgan kvadrat tenglamada p < 0,q — 0 bo’lsa, u holda uning ildizlari uchun 0 — x₁ < x₂ tengsizlik o’rinli bo’ladi.

   
   

7. Agar keltirilgan kvadrat tenglamada p — 0,q < 0 bo’lsa, u holda uning ildizlari uchun x₁ < 0 < x₂ tengsizlik o’rinli bo’ladi.

   
   

Bu teoremalar yordamida berilgan keltirilgan kvadrat tenglamani yechmasdan qachon uning har ikkala ildizi manfiy, har ikkala ildizi musbat, ildizlaridan biri manfiy, ikkinchisi musbat, bitta ildizi nolga teng, ikkinchisi musbat, bir ildizi nolga teng, ikkinchisi manfiy ekanligini aniqlash mumkin bo’ladi.

- 30 -

Masalan, x² — 7x + 12 — 0 tenglamada p — —7 < 0 va q — 12 > 0 bo’lganligi uchun ikkinchi teoremaga asosan tenglamaning har ikkala ildizi musbat, x² — 4x — 5 — 0 tenglamada p — —4 < 0 va q — —5 < 0 bo’lganligi uchun to’rtinchi teoremaga asosan tenglamaning bitta ildizi manfiy, ikkinchi ildizi esa musbat bo’ladi.

Ko’rib o’tilgan bu misollarda biz p va q ning aniq qiymatlarida tenglamaning ildizlari haqida fikr yuritdik. Agar berilgan tenglamada p va q (ax² + bx + с — 0 da a,b,c) lar tayin qiymatlar bilan berilmagan bo’lsa, u holda uning ildizlari p va q yoki a, b, с larning qanday qiymatlar qabul qilishiga bog’liq. Bu holda tenglamani parametr qatnashgan kvadrat tenglama deb ataladi. Ko’pincha berilgan kvadrvt tenglamalarda yuqoridagi parametrlardan birigina qatnashadi. Bunday tenglamalarni o’rganishda quyidagi savollar qo’yilishi mumkin:

1. Parametr qatnashgan tenglama yechilsin.

   
   

2. Parametrning qanday qiymatlarida tenglama yagona ildizga ega bo’ladi?

   
   

3. Parametrning qanday qiymatlarida bittadan ortiq ildizlarga ega?

   
   

4. Parametrning qanday qiymatlarida tenglamaning ildizlari qarama- qarshi ishorali bo’ladi?

   
   

5. Parametrning qanday qiymatlaridatenglamaning ildizlari qarama-qarshi sonlar bo’ladi?

   
   

6. Parametrning qanday qiymatlarida tenglama cheksiz ko’p ildizlarga ega bo’ladi?

   
   

7. Parametrning qanday qiymatlarida tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lmaydi?

   
   

8. Parametrning qanday qiymatlarida tenglamaning har ikkala ildizi k₀ dan kichik (katta) bo’ladi?

   
   

9. Parametrning qanday qiymatlarida tenglamaning ildizlari (k₁,k₂) oraliqda bo’ladi?