Параметрга боғЛИҚ интеграллар икки ўзгарувчили функциянинг бир ўзгарувчиси бўйича яқинлашиши

76-маъруза
Чегаралари ўзгарувчи параметрга боғлиқ интеграллар

Фараз қилайлик, функция

тўпламда берилган ва ҳар бир тайин да функция ўзгарувчининг функцияси сифатида да интегралланувчи бўлсин. ва функ­ция­лар­нинг ҳар бири да берилган ва учун
(1)
тенгсизликлар бажарилсин.
Ушбу

интеграл, равшанки, ўзгарувчига боғлиқ бўлади:
. (2)
(2) интеграл чегаралари ҳам параметрга боғлиқ интеграл дейилади.
1⁰. ф­ункциянинг узлуксизлиги. функциянинг узлуксизлигини қуйидаги теорема ифодалайди:
1-теорема. Фараз қилайлик, функция тўпламда узлуксиз бўлиб, ва функциялар эса сегментда узлук­сиз бўлсин. У ҳолда

функция да узлуксиз бўлади.
◄Ихтиёрий нуқтани олайлик. Интегралнинг маъ­лум хоссаларидан фойдаланиб топамиз:
(3)
Равшанки,

интеграл чегараси ўзгармас бўлган параметрга боғлиқ интеграл. Бу функция 75-маъру­зада келтирилган 2-теоремага мувофиқ ўзгарувчининг узлуксиз функ­ция­си бўлади. Демак,
да (4)
бўлади.
функция тўпламда узлуксиз бўлганлиги сабабли шу тўпламда чегараланган бўлади:
.
Шартга кўра ва функциялар сегментда узлуксиз.
Демак,
да ,
да .
Энди

муносабатлардан

(5)
да ,
да
бўлишини топамиз.
(3) тенгликда, да лимитга ўтиш ва унда (4) ва (5) муно­сабатларни ҳисоб­га олиш натижасида
да
бўлиши келиб чиқади. Демак, функция да узлуксиз.►