Параметрга боғЛИҚ интеграллар икки ўзгарувчили функциянинг бир ўзгарувчиси бўйича яқинлашиши

2⁰. функцияни дифференциаллаш. Фараз қилайлик, функция

тўпламда, ва функциялар эса сегментда берилган бўлиб, , функциялар (1) шартни бажарсин, яъни учун

бўлсин.
2-теорема. Айтайлик, , ва функциялар қуйидаги шартларни бажар­син:
1) функция тўпламда узлуксиз;
2) функция тўпламда узлуксиз хусусий ҳоси­лага эга;
3) ва функциялар да ва ҳосила­лар­га эга.
У ҳолда

функция сегментда ҳосилага эга бўлиб,

бўлади.
◄ , нуқталарни олиб, топамиз:
.
Агар

бўлишини эътиборга олсак, унда
(6)
бўлиши келиб чиқади.
75- маърузадаги 1- теоремага кўра
(7)
бўлади.
Ўрта қиймат ҳақидаги теоремадан фойдаланиб, топамиз:

Бунда нуқта нуқталар орасида, эса , нуқталар орасида жойлашган. да лимитга ўтиши билан қуйидаги тенгликларга келамиз:
(8)
Юқоридаги (6) муносабатда да лимитга ўтиб, (7) ва (8) тенгликларни эътиборга олиб, ушбу

тенгликка келамиз.
Демак,
. ►
Мисол. Ушбу

функциянинг ҳосиласи топилсин.
◄ Айтайлик, бўлсин. Бу ҳолда

бўлиб,

бўлади.
Айтайлик, бўлсин. Бу ҳолда

бўлиб,

бўлади.
Айтайлик, бўлсин. Бу ҳолда

бўлиб,

бўлади.
Демак,

бўлади. ►


Машқлар

1. Агар

бўлса, у ҳолда учун

бўлишини исботлансин.
2. Агар

бўлса, топилсин.