Параметрга боғЛИҚ интеграллар икки ўзгарувчили функциянинг бир ўзгарувчиси бўйича яқинлашиши

3⁰. функциянинг узлуксизлиги. функциянинг узлук­сиз­лигини қуйидаги теорема ифодалайди.
2-теорема. Агар функция

тўпламда узлуксиз бўлса, функция да узлуксиз бўлади.
◄ Ихтиёрий ва нуқталарни олиб, функция­нинг орттирмасини топамиз:
.
функция тўпламда текис узлуксиз. Унда учун шундай топиладики, бўлганда, учун

бўлади. Демак, бўлганда

бўлади. Кейинги муносабатдан

бўлиши келиб чиқади. Бу эса функцияни ихтиёрий нуқ­та­да, бинобарин да узлуксиз бўлишини билдиради.►
4⁰. функцияни дифференциаллаш. Айтайлик, функция тўп­лам­да берилган бўлсин.
3-теорема. Фараз қилайлик, функция қуйидаги шартларни бажарсин:
1) ҳар бир тайин да функция да ўзга­рувчи­нинг функцияси сифатида узлуксиз;
2) функция тўпламда хусусий ҳосилага эга ва функция да узлуксиз.
У ҳолда функция да ҳосилага эга ва
(3)
бўлади.
◄ , нуқталарни олиб, топамиз:
.
Лагранж теоремасига кўра

бўлиб,
(4)
бўлади.
функция тўпламда текис узлуксиз бўлганлиги сабабли

тенгсизлик бажарилади. (4) мунособатдан фойдаланиб

бўлишини топамиз. Демак,
.
Бу эса

эканини билдиради. ►
(3) муносабатни қуйидагича

ҳам ёзиш мумкин. Бу дифференциаллаш амалини интеграл белги­си остига ўтказиш қоидасини ифодалайди.
5⁰. функцияни интеграллаш. Фараз қилайлик, функция тўпламда берилган ва узлуксиз бўлсин. У ҳолда 2-теоремага кўра

функция да узлуксиз бўлади. Бинобарин, бу функция да интегралланувчи, яъни

мавжуд бўлади.
4-теорема. Агар функция тўпламда узлуксиз бўлса, у ҳолда

бўлади.
◄ нуқтани олиб, ушбу

функцияларни қараймиз.
Равшанки,

Демак,

бўлиб, ундан

бўлиши келиб чиқади.
Агар дейилса,

бўлади ва кейинги тенг­лик­дан бўлишини топамиз.
Демак,
.
Хусусан, бўлганда бўлиб,

бўлади. ►


Машқлар

1. Ушбу

функцияни

тўпламда қарайлик. Бу функция учун

бўлиши исботлансин.
2. Агар функция сегментда узлуксиз ҳосилага эга бўлса,

функциянинг ҳосиласи топилсин.
3. Агар

бўлса, у қуйидаги

тенгламани қаноатлантириши кўрсатилсин.