Параметрические уравнения кривой

Окружность с центром в точке (0,0)
Окружность с центром в точке (0, 0) можно задать:
1.В декартовых координатах:
a) уравнением (R = a радиус окружности);
b) параметрическими уравнениями при t ∈ [0, 2π) (Рис. 8):

2.В полярных координатах:
уравнение окружности ра-диуса a с центром в точке (0, 0) имеет вид: r = a. Действительно, так как и x = r cos φ, y = r sin φ, то

Упростим,

Окончательно имеем r = a (Рис. 9).

Рис.8. Рис.9.

Окружность с центром в точке
Окружность с центром в точке можно задать:
1) В декартовых координатах:
a) уравнениями:
1) ;
2)
Чтобы перейти от уравнения к знакомому уравнению окружности, прибавим к обоим частям этого уравнения Получим
,
т.е. окружность с центром в точке (a, 0) и радиусом a.
3)
Уравнение окружности с центром в точке (0, a) и радиусом a.
b) параметрически:

2) В полярных координатах для a>0 и b>0:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
В уравнениях (a-h) a - длина отрезка, соединяющего полюс и точку переcечения окружности с лучом φ = 0 (φ= π); b - длина отрезка, соединяющего полюс и точку переcечения окружности с лучом φ= (φ= ) . Окружности проходят через полюс.
На рисунках 10-19 обозначены точки пересечения окружностей с лучами
φ=0, φ= , φ= , φ=π.


Для окружности r = cos ϕ рассмотрено изменение параметра
(Рис. 20-23).



Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам.
Определение: Кривой второго порядка называется множество точек на плоскости , координаты которых удовлетворяют следующему общему уравнению кривой второго порядка:

(1)

где коэффициенты А, 2В, С, 2D, 2E и F - любые числа и, кроме того, числа А, В и С не равны нулю одновременно, т.е. . (Шипачев В.С.)

Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы являются частными случаями уравнения (1). (Привалов И.И.)
Теорема 1. Пусть в прямоугольной системе координат задано общее уравнение кривой второго порядка . Тогда существует такая прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:

1) (Эллипс);

2) (Мнимый эллипс);
3) (Пара мнимых пересекающихся прямых);
4) (Гипербола);
5) (Пара пересекающихся прямых);
6) (Парабола);
7) (Пара параллельных прямых);
8) (Пара мнимых параллельных прямых):
9) (Пара совпавших прямых).