Parametrik ko’rinishda berilgan funksiyalarni tekshirish

Parametrik funktsiyani aniqlash

Demak, t ∈ (a; b) qiymat uchun x = ph (t), y = ps (t) lar aniqlangan va x = ph (t) uchun t = D (x) teskari funktsiyaga ega, keyin savol ostida y = ps (D (x)) ko‘rinishdagi funksiyaning parametrik tenglamasini aniqlash bo‘yicha.
Funksiyani tekshirish uchun x ga nisbatan hosilani izlash talab qilinadigan holatlar mavjud. y x "= ps" (t) ph "(t) ko'rinishdagi parametrik berilgan funksiyaning hosilasi formulasini ko'rib chiqaylik, keling, 2 va n-tartibli hosila haqida gapiraylik.

Parametrli berilgan funksiyaning hosilasi formulasini hosil qilish

Bizda x = ph (t), y = ps (t), t ∈ a qiymati uchun aniqlangan va differentsiallanadigan; b, bu erda x t "= ph" (t) ≠ 0 va x = ph (t), u holda t = D (x) ko'rinishdagi teskari funksiya mavjud.
Boshlash uchun siz parametrikdan aniq tayinlashga o'tishingiz kerak. Buning uchun y = ps (t) = ps (D (x)) ko'rinishdagi kompleks funktsiyani olish kerak, bu erda x argumenti mavjud.
Murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasiga asoslanib, y "x = ps D (x) = ps" D x · D "x ekanligini olamiz.
Bu shuni ko'rsatadiki, t = D (x) va x = ph (t) teskari funktsiya formulasidan teskari funksiyalar D "(x) = 1 ph" (t), keyin y "x = ps" D (x) bo'ladi. · D "(x) = ps" (t) ph "(t).
Differensiatsiya qoidasiga ko'ra hosilalar jadvalidan foydalangan holda bir nechta misollarning yechimini ko'rib chiqishga o'tamiz.
1-misol
x = t 2 + 1 y = t funksiyaning hosilasini toping.
Yechim
Gipotezaga ko'ra, bizda ph (t) = t 2 + 1, ps (t) = t bor, shuning uchun biz ph "(t) = t 2 + 1", ps "(t) = t" = 1 ni olamiz. Olingan formuladan foydalanish va javobni quyidagi shaklda yozish kerak:
y "x = ps" (t) ph "(t) = 1 2 t
Javob: y x "= 1 2 t x = t 2 + 1.
h funktsiyasining hosilasi bilan ishlaganda, t parametri hosila qiymatlari va parametrik ko'rsatilgan funktsiya o'rtasidagi bog'liqlikni yo'qotmaslik uchun x argumentining bir xil t parametri orqali ifodasini belgilaydi. qaysi qiymatlar mos keladi.
Parametrli berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini aniqlash uchun hosil boʻlgan funksiya boʻyicha birinchi tartibli hosila formulasidan foydalanish kerak, shundan keyin biz shuni olamiz.
y "" x = ps "(t) ph" (t) "ph" (t) = ps "" (t) ph "(t) - ps" (t) ph "" (t) ph "( t) 2 ph "(t) = ps" "(t) ph" (t) - ps "(t) ph" "(t) ph" (t) 3.
2-misol
Berilgan x = cos (2 t) y = t 2 funksiyaning 2 va 2-tartibli hosilalarini toping.
Yechim
Gipoteza orqali biz ph (t) = cos (2 t), ps (t) = t 2 ekanligini olamiz.
Keyin transformatsiyadan keyin
ph "(t) = cos (2 t)" = - sin (2 t) 2 t "= - 2 sin (2 t) ps (t) = t 2" = 2 t
Bundan kelib chiqadiki, y x "= ps" (t) ph "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t).
1-tartibli hosilaning shakli x = cos (2 t) y x "= - t sin (2 t) ekanligini olamiz.
Uni yechish uchun ikkinchi tartibli hosila formulasini qo‘llash kerak. Biz shaklning ifodasini olamiz
yx "" = - t sin (2 t) ph "t = - t" sin (2 t) - t (sin (2 t)) "sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 gunoh (2 t) - t cos (2 t) (2 t) "2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Keyin parametrik funksiya yordamida ikkinchi tartibli hosilaning spetsifikatsiyasi
x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Shunga o'xshash yechim boshqa usul bilan hal qilinishi mumkin. Keyin
ph "t = (cos (2 t))" = - sin (2 t) 2 t "= - 2 sin (2 t) ⇒ ph" "t = - 2 sin (2 t)" = - 2 sin (2) t) "= - 2 cos (2 t) · (2 ​​t)" = - 4 cos (2 t) ps "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ps "" (t) = ( 2 t) "= 2
Shuning uchun biz buni olamiz
y "" x = ps "" (t) ph "(t) - ps" (t) ph "" (t) ph "(t) 3 = 2 · - 2 sin (2 t) - 2 t · (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Javob: y "" x = sin (2 t) - 2 t · cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Parametrli belgilangan funktsiyalarga ega yuqori tartibli hosilalarni topish xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing
Shu paytgacha ushbu chiziqlar nuqtalarining joriy koordinatalarini bevosita bog'laydigan tekislikdagi chiziqlar tenglamalari ko'rib chiqildi. Biroq, ko'pincha chiziqni aniqlashning boshqa usuli qo'llaniladi, bunda joriy koordinatalar uchinchi o'zgaruvchining funktsiyalari sifatida ko'rib chiqiladi.
O'zgaruvchining ikkita funktsiyasi berilgan bo'lsin
t ning bir xil qiymatlari uchun hisobga olinadi. U holda t ning ushbu qiymatlaridan har qandayi aniq qiymatga va y ning aniq qiymatiga va, demak, aniq nuqtaga mos keladi. t o'zgaruvchisi funksiyalar sohasi (73) dan barcha qiymatlar orqali o'tganda nuqta tekislikdagi ba'zi C chiziqni tasvirlaydi.(73) tenglamalar bu chiziqning parametrik tenglamalari, o'zgaruvchisi esa parametr deb ataladi.
Faraz qilaylik, funksiya teskari funktsiyaga ega bo'lsin, bu funksiyani (73) ikkinchi tenglamaga qo'yib, tenglamani olamiz.

y ni funksiya sifatida ifodalash
Bu funksiya (73) tenglamalar orqali parametrik berilgan deyishga rozi bo'laylik. Bu tenglamalardan (74) tenglamaga o'tish parametrlarni istisno qilish deyiladi. Parametrli aniqlangan funktsiyalarni ko'rib chiqishda parametrni istisno qilish nafaqat zarur, balki har doim ham amalda mumkin emas.
Ko'p hollarda so'rash ancha qulayroq turli ma'nolar keyin (73) formulalar yordamida argument va y funktsiyasining mos qiymatlarini hisoblang.
Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.
1-misol. Markazi koordinata boshida va radiusi R bo’lgan aylananing ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Bu nuqtaning dekart koordinatalari x va y uning qutb radiusi va qutb burchagi bilan ifodalanadi, biz bu yerda t bilan belgilaymiz, quyidagicha ( qarang: Ch. I, 3-§, 3-bet):
(75) tenglamalar aylananing parametrik tenglamalari deyiladi. Ulardagi parametr 0 dan o'zgarib turadigan qutbli burchakdir.
Agar (75) tenglamalar kvadratga aylantirilsa va had bo‘yicha a’zolar qo‘shilsa, u holda identifikatsiya tufayli parametr chiqarib tashlanadi va Dekart koordinata tizimidagi aylana tenglamasi olinadi, bu esa ikkita elementar funktsiyani aniqlaydi:
Bu funksiyalarning har biri (75) tenglamalar orqali parametrik tarzda aniqlanadi, lekin bu funksiyalar uchun parametrlarning o‘zgarishi diapazonlari har xil. Birinchisi uchun; bu funksiyaning grafigi yuqori yarim doiradir. Ikkinchi funksiya uchun uning grafigi pastki yarim doiradir.
2-misol. Bir vaqtning o'zida ellipsni ko'rib chiqing
va koordinata boshi va radiusi a bo'lgan aylana (138-rasm).
Ellipsning har bir M nuqtasiga M nuqta bilan bir xil abstsissaga ega bo'lgan va u bilan Ox o'qining bir tomonida joylashgan aylananing N nuqtasini bog'laymiz. N nuqtaning o'rni, demak, M nuqta nuqtaning qutb burchagi t bilan to'liq aniqlanadi.Unda ularning umumiy abtsissalari uchun quyidagi ifodani olamiz: x = a. Ellips tenglamasidan M nuqtadagi ordinatani topamiz:
Belgi tanlandi, chunki M nuqtadagi ordinata va N nuqta ordinatasi bir xil belgilarga ega bo'lishi kerak.
Shunday qilib, ellips uchun quyidagi parametrik tenglamalar olinadi:
Bu erda t parametri 0 dan oraliqda.
3-misol. Markazi a) nuqtada joylashgan va radiusi a bo‘lgan aylanani ko‘rib chiqaylik, u ko‘rinib turibdiki, koordinata boshida abtsissa o‘qiga tegib turadi (139-rasm). Faraz qilaylik, bu aylana abscissa o'qi bo'ylab sirg'almasdan aylanyapti. Keyin aylananing boshlang'ich momentiga to'g'ri kelgan M nuqtasi sikloid deb ataladigan chiziqni tasvirlaydi.
Doiraning qo'zg'almas nuqtasini O holatidan M holatga ko'chirishda aylananing MCW aylanish burchagini t parametr sifatida olib, sikloidning parametrik tenglamalarini chiqaramiz. Keyin koordinatalar uchun va M nuqtada quyidagi ifodalarni olamiz. :
Doira o'q bo'ylab sirg'almasdan aylanayotganligi sababli, OB segmentining uzunligi BM yoyi uzunligiga teng. BM yoyi uzunligi a radiusi va markaziy burchak t ko'paytmasiga teng bo'lgani uchun, u holda. Shunung uchun . Lekin natijada,
Bu tenglamalar sikloidning parametrik tenglamalaridir. Parametr t 0 dan o'zgarganda, aylana bitta to'liq aylanishni amalga oshiradi. M nuqtasi sikloidning bir yoyini tasvirlaydi.
t parametrini yo'q qilish bu erda noqulay ifodalarga olib keladi va amalda amaliy emas.
Chiziqlarning parametrik ta'rifi, ayniqsa, ko'pincha mexanikada qo'llaniladi, bu erda vaqt parametr rolini o'ynaydi.
4-misol. Ufqqa a burchak ostida dastlabki tezlik bilan quroldan otilgan snaryadning traektoriyasini aniqlaymiz. Biz havo qarshiligini va o'qning o'lchamini e'tiborsiz qoldiramiz, uni moddiy nuqta deb hisoblaymiz.
Keling, koordinatalar tizimini tanlaylik. Biz koordinatalarning kelib chiqishi sifatida o'qning tumshug'idan chiqish nuqtasini olamiz. Biz Ox o'qini gorizontal, Oy o'qini vertikal yo'naltiramiz, ularni miltiqning tumshug'i bilan bir xil tekislikda joylashtiramiz. Agar tortishish kuchi bo'lmaganda, snaryad Ox o'qi bilan a burchak hosil qilgan holda to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanar va t vaqtga kelib yo'lni bosib o'tgan bo'lar edi.T vaqtdagi snaryad koordinatalari mos ravishda: ga teng bo'lar edi. Gravitatsiya ta'sirida snaryad shu daqiqada qiymat bo'yicha vertikal ravishda tushishi kerak.Shuning uchun haqiqatda t vaqtida o'qning koordinatalari formulalar bilan aniqlanadi:
Bu tenglamalar doimiydir. t o'zgarganda, snaryadning traektoriyasi nuqtasidagi koordinatalar ham o'zgaradi. Tenglamalar snaryad traektoriyasining parametrik tenglamalari bo'lib, ularda parametr vaqt hisoblanadi
Birinchi tenglamadan ifodalash va unga almashtirish
ikkinchi tenglama, biz snaryad traektoriyasining tenglamasini shaklda olamiz Bu parabolaning tenglamasi.

Yashirin funktsiyaning hosilasi.
Parametrli berilgan funksiyaning hosilasi

Ushbu maqolada biz tez-tez uchraydigan yana ikkita odatiy vazifani ko'rib chiqamiz nazorat ishlari yoqilgan oliy matematika... Materialni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun hech bo'lmaganda o'rta darajada hosilalarni topa olish kerak. Siz ikkita asosiy darsda noldan lotinlarni qanday topishni o'rganishingiz mumkin va Murakkab funktsiyaning hosilasi... Agar farqlash qobiliyatlari bilan hamma narsa tartibda bo'lsa, keling.