Parametrik ko’rinishda berilgan funksiyalarni tekshirish

Yashirin funktsiyaning hosilasi

Yoki qisqasi, hosila yashirin funksiya... Yashirin funktsiya nima? Keling, birinchi navbatda bitta o'zgaruvchining funktsiyasining ta'rifini eslaylik:
Yagona o'zgaruvchan funktsiya Mustaqil o'zgaruvchining har bir qiymatiga bitta va faqat bitta funktsiya qiymati mos keladigan qoidadir.
O'zgaruvchi chaqiriladi mustaqil o'zgaruvchi yoki dalil.
O'zgaruvchi chaqiriladi qaram o'zgaruvchi yoki funktsiyasi .
Hozirgacha biz belgilangan funktsiyalarni ko'rib chiqdik aniq shakl. Bu nimani anglatadi? Keling, aniq misollar yordamida brifing tashkil qilaylik.
Funktsiyani ko'rib chiqing 
Biz chap tomonda yolg'iz "o'yin" borligini ko'ramiz, o'ngda esa - faqat "x"... Ya'ni, funktsiya aniq mustaqil o‘zgaruvchi bilan ifodalanadi.
Boshqa funktsiyani ko'rib chiqing:
Bu erda o'zgaruvchilar ham "aralashdi". Bundan tashqari hech qanday tarzda mumkin emas"o'yin" ni faqat "x" orqali ifodalash. Bu usullar qanday? Belgini o'zgartirish bilan bir qismdan ikkinchisiga atamalarni o'tkazish, qavslar tashqarisida joylashtirish, nisbat qoidasiga ko'ra ko'paytirgichlarni tashlash va hokazo. Tenglikni qayta yozing va "o'yin" ni aniq shaklda ifodalashga harakat qiling:. Siz tenglamani soatlab burishingiz va burishingiz mumkin, lekin qila olmaysiz.
Sizni tanishtiraman: - misol yashirin funksiya.
Matematik tahlil jarayonida yashirin funksiya ekanligi isbotlandi mavjud(lekin har doim ham emas), u grafikga ega (xuddi "oddiy" funktsiya kabi). Yashirin funktsiya ham xuddi shunday mavjud birinchi hosila, ikkinchi hosila va boshqalar. Ular aytganidek, jinsiy ozchiliklarning barcha huquqlari hurmat qilinadi.
Va bu darsda biz yashirin funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganamiz. Bu unchalik qiyin emas! Farqlashning barcha qoidalari, hosilalar jadvali elementar funktsiyalar amal qiladi. Farq bitta o'ziga xos daqiqada, biz hozir ko'rib chiqamiz.
Ha, va men sizga xabar beraman xush habar- quyida muhokama qilingan vazifalar uchta yo'l oldida toshsiz juda qattiq va aniq algoritmga muvofiq amalga oshiriladi.
1-misol
1) Birinchi bosqichda biz ikkala qismga ham yakuniy teginamiz:
2) Biz hosilaning chiziqlilik qoidalaridan foydalanamiz (darsning birinchi ikkita qoidasi). lotinni qanday topsam bo'ladi? Yechimlarga misollar):
3) To'g'ridan-to'g'ri farqlash.
Qanday qilib farqlash va mukammal tushunarli. Zarbalar ostida "o'yinlar" bo'lgan joyda nima qilish kerak?
- shunchaki g'azab bilan, funktsiyaning hosilasi uning hosilasiga teng: .
Qanday qilib farqlash kerak
Mana bizda murakkab funktsiya... Nega? Ko'rinib turibdiki, sinus ostida faqat bitta "igrek" harfi bor. Ammo, haqiqat shundaki, "o'yin" faqat bitta harf bor - O'ZI BIR FUNKSIYA(dars boshida ta'rifga qarang). Shunday qilib, sinus tashqi funktsiya, ichki funktsiyadir. Biz murakkab funksiyani differentsiallash qoidasidan foydalanamiz  :
Biz mahsulotni odatiy qoidaga ko'ra farqlaymiz  :
E'tibor bering - bu ham murakkab funktsiyadir, har qanday "qo'ng'iroq va hushtak bilan o'yin" murakkab funktsiyadir:
Yechimning dizayni quyidagicha ko'rinishi kerak:

Qavslar bo'lsa, ularni ochamiz:

4) Chap tomonda biz "o'yin" mavjud bo'lgan shartlarni to'playmiz. V o'ng tomon- qolgan hamma narsani o'tkazamiz:
5) Chap tomonda biz qavs ichidan hosilani chiqaramiz:
6) Va mutanosiblik qoidasiga ko'ra, biz bu qavslarni o'ng tomonning maxrajiga tushiramiz:

hosilasi topiladi. Tayyor.
Shunisi qiziqki, siz har qanday funktsiyani bilvosita qayta yozishingiz mumkin. Masalan, funktsiya  quyidagicha qayta yozish mumkin:  ... Va uni hozirgina ko'rib chiqilgan algoritmga ko'ra farqlang. Darhaqiqat, «yomon funktsiya» va «implisit funktsiya» iboralari bir semantik nuansda farqlanadi. "Bevosita belgilangan funktsiya" iborasi umumiyroq va to'g'ri,  - bu funksiya bilvosita o'rnatiladi, lekin bu erda siz "o'yin" ni ifodalashingiz va funktsiyani aniq shaklda ifodalashingiz mumkin. "Yopiq funktsiya" iborasi "o'yin" ni ifodalash mumkin bo'lmaganda, "klassik" yashirin funktsiya sifatida tushuniladi.
Ikkinchi yechim
Diqqat! Ikkinchi usulni qanday qilib ishonchli tarzda topishni bilsangizgina topish mumkin qisman hosilalari... Iltimos, matematika va dummiya bo'yicha yangi boshlanuvchilar ushbu bandni o'qimang va o'tkazib yubormang, aks holda bosh to'liq tartibsizlik bo'ladi.
Yopiq funksiyaning hosilasini ikkinchi usulda topamiz.
Biz barcha shartlarni chap tomonga o'tkazamiz:
Va ikkita o'zgaruvchining funktsiyasini ko'rib chiqing:
Keyin hosilamizni formula bo'yicha topish mumkin
Keling, qisman hosilalarni topamiz:

Shunday qilib:

Ikkinchi yechim sizni tekshirishga imkon beradi. Ammo ularni topshiriqning toza varianti bilan shakllantirish maqsadga muvofiq emas, chunki qisman hosilalar keyinroq o'zlashtiriladi va "Bir o'zgaruvchan funktsiyaning hosilasi" mavzusini o'rganayotgan talaba qisman hosilalarni bilmaydi.
Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
2-misol
Yashirin funksiyaning hosilasini toping
Biz ikkala qismga yakuniy teginishlarni qo'ydik:
Biz chiziqlilik qoidalaridan foydalanamiz:
hosilalarni toping:

Barcha qavslarni kengaytiring:

Biz barcha shartlarni chap tomonga, qolganlarini o'ng tomonga o'tkazamiz:
Yakuniy javob:

3-misol
Yashirin funksiyaning hosilasini toping 
To'liq yechim va dars oxirida namunaviy dizayn.
Farqlashdan keyin kasrlar paydo bo'lishi odatiy hol emas. Bunday hollarda siz fraksiyalardan xalos bo'lishingiz kerak. Keling, yana ikkita misolni ko'rib chiqaylik.
4-misol
Yashirin funksiyaning hosilasini toping 
Biz ikkala qismni chiziqlar bilan o'rab olamiz va chiziqlilik qoidasidan foydalanamiz:


Murakkab funksiyani differentsiallash qoidasidan foydalanib differensiallash  va xususiyni farqlash qoidasi  :



Qavslarni kengaytiring:

Endi biz kasrdan xalos bo'lishimiz kerak. Buni keyinroq qilish mumkin, ammo buni darhol qilish yanada oqilona. Kasrning maxraji. Ko'paytiring kuni . Batafsil, u quyidagicha ko'rinadi:

Ba'zida differentsiatsiyadan keyin 2-3 fraktsiya paydo bo'ladi. Agar bizda boshqa kasr bo'lsa, masalan, operatsiyani takrorlash kerak edi - ko'paytiring har bir qismning har bir muddati yoqilgan

Chap tomonda biz qavsdan chiqaramiz:
Yakuniy javob:

5-misol
Yashirin funksiyaning hosilasini toping
Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol. Undagi yagona narsa, kasrdan qutulishdan oldin, birinchi navbatda fraksiyaning uch qavatli tuzilishidan xalos bo'lish kerak bo'ladi. Toʻliq yechim va oʻquv qoʻllanmasining oxirida javob bering.