Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

a

q

n

 ni hisoblashda 

 

,

n

a

q

 

,

)

10

(

n

в

a

q

 

,...

)

100

10

(

,

n

с

в

a

q

 ayirmalar ketma-ketligini hisooblashga kelti-

radi. 

Bunda 

u 

quyidagi 

binominial 

yoyilmani 

ko’radi 

va 

,

1

...

)

1

(

1

2

2

1

1

a

C

a

C

a

C

a

a

n

n

n

n

n

n

n

n

 

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

в

aв

С

в

a

С

в

a

C

a

в

a

1

1

2

2

2

1

1

...

)

(

 

ko’rinishda 

ifodalab, 

1

1

1

m

n

m

n

m

n

C

C

C

 qoida bo’yicha binominal koeffitsentlarni hosil qiladi. 

Evropada bu usul Ruffini (1804) –o’orner (1819) nomi bilan ma’lum bo’lib, binomial 

koeffitsentlar tablitsasini 

17

n

 uchun 1544 yili Shtifelь hisoblagan.   

  

Taqribiy  ildiz  chiqarish   

,

1

2

2

T

r

T

r

T

q

  (T-  butun  qismi)  formulasi 

qadimdan  ma’lum  bo’lib,  Koshiy  ildizning  istalgan  natural  ko’rsatkichli  uchun  for-

mulani topadi. Bu usul asosida chiziqli interpolyatsiya usuli yotadi: 

,

 

1

 

)

 

1

 

(

 

1

 

2

 

2

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

C

a

 

C

a

 

C

n

 

n

 

a

 

a

 

n

 

n

 

n

 

n

 

n

 

---

 

44 

n

x

y

 agar 

r

x

x

T

y

T

x

T

y

T

x

n

n

1

2

2

1

1

1

;

)

1

(

;

  

u holda 

.

)

1

(

)

(

1

1

2

1

2

1

n

n

T

T

r

T

x

x

x

x

y

y

y

y

 

 

Bu usul Evropada XVI asr o’rtalarida paydo bo’ladi. 

Algebrik  masalalarni  hal  qilish  uchun  zarur  bo’lgan  sonlarning  nisbati  haqidagi  bir 

qancha  qoidalarni  va  sonlar  ketma-ketligining  yig’indisini  topish  usullarini 

ko’rsatadi. 

q

а

1

  -  istalgan  son,  ya’ni: 

n

q

q

q

q

...

3

2

  bo’lganda 

1

q

q

q

q

S

n

n

  yoki 

1

,

1

q

q

q

q

q

S

n

n

n

 uchun; agar q<1 bo’lsa, 

1

q

q

q

q

S

n

n

 formula bilan hisoblaydi. 

Jumladan birinchi formulani quyidagicha bayon etadi: biror asosning ketma-ket da-

rajalarining  istalgan  yig’indisi 

n

q

q

q

...

2

  ni  topishni  istasak,  oxirigi  daraja 

n

q

 

asosga ko’paytirib ko’paytma 

q

q

n

 dan asosni ayiramiz, so’gnra ayirma 

q

q

q

n

 ni 

asosdan bitta kam son 

1

q

 ga bo’lganda izlangan yig’indi hosil bo’ladi. 

 

Yoki 

;

2

1

3

1

2

...

3

2

1

2

2

2

2

n

n

n

n

 

            

;

2

1

...

3

2

1

2

3

3

3

3

n

n

n

 

;

6

)

1

2

)(

1

(

2

)

1

(

1

2

)

1

(

5

1

...

3

2

1

4

4

4

4

n

n

n

n

n

n

n

n

 

;

3

)

2

)(

1

(

)

1

(

...

4

3

3

2

2

1

n

n

n

n

n

  

4

)

3

)(

2

)(

1

(

)

2

)(

1

(

...

5

4

3

4

3

2

3

2

1

n

n

n

n

n

n

n

 

Ќar 1

1

 oraliqda sinuslar jadvalini tuzish, yana 9 ta o’nli raqami bilan, borasida sin 1

o

 ni 

hisoblash 

uchun 

3

cos

3

3

cos

4

3

сos

 

 

formuladan 

foydalanib 

x

3

+0,7850393433644006=45x tenglamaga keladi. 

Umumiy holda tenglamani quyidagicha taqriban hal qilish usulini ko’ramiz. 

 

,

3

3

P

D

x

x

Px

D

х

  x  –  kichik,  demak  x

3

  –  yanada  kichik  u  xolda 

a

P

D

х

х

3

 - birinchi yaqinlashish. 

,

y

a

x

 

P

R

y

a

y

P

a

y

a

y

a

3

3

)

(

)

(

 R – a

3

 tartibli bo’lib,  

a

3

 u ga nisbatan katta. 

U/x 

P

S

в

P

R

a

y

3

 - ikkinchi yaqinlashish. 

в

y

 deb 2-bosqich takrorlanadi va hokazo. 

---

 

45 

Natijada 

,

1

P

a

a

x

   

,

3

2

P

Q

a

в

a

x

 

,...,

)

(

3

3

P

Q

в

а

с

в

a

x

   

.

3

1

P

Q

x

x

n

n

 

3x

2

0

 ning 17 ta aniq raqamini 60 

lik sistemada topadi. 

       Ulu¼bek  akademiyasining  yana  bir  yirik  namoyandasi  Aloviddin  Ali  ibn  Mux-

ammad  al  -  ªushchi.  U  1402  yili  Samarqandda  tu¼ilgan.  «ªushchi»  uning  taxallusi. 

Adabiyotlarda ko’`rsatilishicha, uning taxallusi qaqida turli xil farazlar mavjud. Shu-

nisi  aniqki,  u  juda  qam  ser¼ayrat  bo’`lgan.  O’zbeklar  bunday  kishilarni  «Lochinga 

o’`xshaydi»  deb  atashadi.  U  boshlan¼ich  ma’lumotni  Samarqandda  oladi,  so’`ng 

o’`qishni davom ettirish uchun Kermonga ketadi. Sababi qali Samarqandda Jamshid 

al- Koshiylar yo’`q edi. 1416 yilning oxirlarida Samarqandga qaytadi va Ulu¼bek aka-

demiyasida ishlay  boshlaydi. O’zining ser¼ayratligi, bilimdonligi bilan atrofidagilar 

orasida juda tez qurmat qozonadi.  

        ªozi Zoda va Jamshid al- Koshiylarning vafotidan so’`ng rasadxonadagi ilmiy ish-

lar butunlay Ali ªushchi zimmasiga tushadi. 1438 yili Ulu¼bek ªushchini Xitoy salta-

nati xuzuriga elchi qilib yuboradi. Xitoydan qaytib kelgach u o’`zining «Matematik va 

astronomik jo’`¼rofiya» nomli asarini yozadi.  

       Ali ªushchining «Arifmetik risola» si, «Kasrlar qaqida risola» si va «Muqammadiya 

risola» si matematikaning muqim masalalari – arifmetik amallar, ularni bajarish tar-

tibi,  o’`nli  kasrlar,  ular  ustida  amallar,  qozirda  biz  algebra  darsliklariga  kiritadigan 

qisqa ko’`paytirish formulalari, musbat va manfiy sonlar tushunchalari va boshqalar-

ga ba¼ishlangan.  

      Ali ªushchining «Astranomiyaga doir risola» si bilan birga uning «Ulu¼bek zijiga 

sharq» asarlari astranomiya tarixida katta aqamiyatga ega. Ali ªushchi «Ulu¼bek zi-

ji» ni geometriya teoremalari yordamida sharxlaydi va u bu asarga yozilgan sharxlar 

orasida eng yaxshisi qisoblanadi.    

 

     Tekshirish savollari: 

     1. Ulug’bek akademiyasi bo’yicha nimalarni bilasiz ? 

2. Koshiyning "Arifmetika kaliti" asari haqida nimalarni bilasiz ? 

3. Samarqandda yana qanday allomalar ijod qilgan ?