Первичная обработка резултатов измерий в спорте

Определение доверительного интервала
для оценки генерального среднего
Как известно, выборочный метод, являющийся основой любых статистических исследований, предполагает работу с выборочной совокупностью для последующего анализа генеральной совокупности. Так, если предположить, что закон распределения генеральной совокупности известен, а его основные параметры не известны, то встает вопрос об оценке этих параметров. Одним из способов оценки (отыскания приближенного значения) является интервальное оценивание. Если считать, что генеральная совокупность распределена нормально, то интервальная оценка (доверительный интервал) генеральной средней выглядит следующим образом:
. (1.10)
В формуле (1.10) ‑ выборочное среднее, n ‑ объем выборки, S ‑ стандартное отклонение; t_γ ‑ справочный параметр, определяемый по специальным таблицам (приложение 4), зависящий от уровня доверительной вероятности γ и объема выборки n.


Лабораторная работа №1
В работе задействованы два массива данных: выборка А и выборка В (приложение 1).
Выборка А – статистические наблюдения за результатами участия спортсмена в соревнованиях различного уровня в течении 10 лет. Фиксировалось место, занятое спортсменом. («0» – неучастие).
Выборка В ‑ результат оценивания (в баллах) качественности выполнения спортсменом тренировочного задания в процессе годичного цикла.
Задание 1. По выборкам А и В составить дискретный и непрерывный вариационный ряды. Построить полигон и гистограмму частот.
Задание 2. Найти основные числовые характеристики вариационных рядов: среднее значение , моду M_o, медиану M_e, дисперсию , стандартное отклонение S, коэффициент вариации V.
Задание 3. Построить доверительный интервал для оценки среднего значения при доверительной вероятности .


Пример выполнения лабораторной работы №1.
По выборке А строим дискретный вариационный ряд.
Таблица 1.3.

№	xi	ni
1	0	8
2	1	13
3	2	20
4	3	8
5	4	9
6	5	5
7	6	2
∑	‑	65

Построим полигон частот и гистограмму частот.

Рис. 1.5. Полигон частот.	Рис. 1.6. Гистограмма частот.

Определяем основные числовые характеристики:
; ;
;
;
; .
Построим доверительный интервал для оценки среднего:
.
По таблице (приложение 4) найдем .
,
.
С вероятностью 0,95 генеральное среднее покрывается интервалом .
По выборке В строим непрерывный вариационный ряд, который дополняем столбцами, необходимыми для вычисления основных числовых характеристик.
Таблица 1.2. ( ; )

i
1	48 – 51	49,5	2	0,67	-5	-10	50
2	51 – 54	52,5	7	2,33	-4	-28	112
3	54 – 57	55,5	21	7,0	-3	-63	189
4	57 – 60	58,5	22	7,3	-2	-44	88
5	60 – 63	61,5	31	10,3	-1	-31	31
6	63 – 66	64,5	34	11,3	0	0	0
7	66 – 69	67,5	27	9,0	1	27	27
8	69 – 72	70,5	11	3,67	2	22	44
9	72 – 75	73,5	4	1,33	3	12	36
10	75 – 78	76,5	2	0,67	4	8	32
∑			161			-107	609

Строим полигон и гистограмму частот

Рис. 1.7. Полигон частот.

Рис. 1.8. Гистограмма частот.

Вычисляем основные числовые характеристики:
; ; ;
;
; .
Построим доверительный интервал для оценки среднего.
.
По таблице значений t_γ (приложение 4) найдем .
,
.
Генеральное среднее с вероятностью покрывается интервалом .

В практике тренера часто приходится сталкиваться со сравнением средних результатов двух групп спортсменов. Это сравнение имеет целью отделить влияние на результат существенного фактора (уровня профессиональной готовности спортсмена к участию в соревнованиях) от неизбежного присутствия элемента случайности. Рассмотрим три варианта:

1. сравнение двух больших групп ( ) или одной большой и одной малой группы ( ) с попарно независимыми значениями;
2. сравнение двух малых групп с попарно независимыми значениями;
3. сравнение двух малых групп с попарно зависимыми значениями.
Схема сравнения средних предполагает вычисление в каждом, из указанных случаев, наблюдаемого значения критерия Стьюдента t_набл и сопоставление его с критическим значением t_кр определяемым по таблице (приложение 4). В указанной таблице приведены значения t_кр для трех уровней доверительной вероятности =0,95; 0,99; 0,999. При этом возможны следующий случаи соотношения t_набл и t_кр, отображенные на схемах а, б, в и г (рис. 2.1).

а)
б)
в)
г)
Рис. 2.1. Схемы соотношения tнабл и tкр.

В случаях а, б, в расхождение средних следует признать закономерным по І, ІІ, ІІІ порогу надежности соответственно. В случае г расхождение средних необходимо считать несущественным.

Наблюдаемое значение критерия Стьюдента t_набл при сравнении двух групп для трех описанных случаев определяются по формулам (2.1), (2.2), (2.3) соответственно.

. (2.1)
. (2.2)
, (2.3)
где , .
В приведенных формулах , ‑ средние в группах; , ‑ дисперсии групп; , ‑ объемы групп.