План: линейные пространства. Линейная зависимость и независимость

2. ОДНОВРЕМЕННОЕ ПРИВЕДЕНИЕ ДВУХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ К СУММЕ КВАДРАТОВ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Теорема 4.11 Пусть  и  – симметричные билинейные формы, определенные в вещественном линейном пространстве V. Допустим далее, что для всех  ,  , справедливо неравенство  (т.е. квадратичная форма  – положительно определенная). Тогда в пространстве V можно указать базис  такой, что квадратичные формы  и  могут быть представлены в виде

, (4.42)
, (4.43)
где  – координаты вектора  в базисе  .
Алгоритм приведения пары квадратичных форм одним преобразованием одну к каноническому виду, а другую – к нормальному
1. Находим матрицы  и  квадратичных форм  и  соответственно и определяем решения  уравнения  . Тогда канонический вид квадратичной формы  , а нормальный вид квадратичной формы  .
2. Найдем базисные векторы из системы уравнений  для каждого  .
3. По матрице  строим поляризацию  квадратичной формы  . Симметрическая билинейная функция  определяет скалярное произведение. К полученным базисным векторам применяется процесс ортогонализации Грамма-Шмидта относительно этого скалярного произведения.
4. Составляем матрицу перехода из координат ортонормированных векторов и получаем формулы замены координат
Пример 10 Для квадратичных форм  и  определить базис, в котором одна из этих квадратичных форм имеет канонический вид, а другая квадратичная форма приводится к нормальному виду, и соответствующую замену координат.
Решение. Находим матрицы  и  квадратичных форм  и  соответственно:
,  .
Форма  является положительно определенной, так как главные миноры ее матрицы положительны.
Решим уравнение  :
,
,
,  ,  ,  .
Тогда канонический вид квадратичной формы  , а нормальный вид квадратичной формы  .
Для каждого из чисел  ,  решим матричное уравнение  .
При  получаем  ,

При  получим  . Тогда первый базисный вектор имеет вид  .
При  получаем  ,

При  получим  . Тогда второй базисный вектор имеет вид  .
По матрице  строим поляризацию  квадратичной формы  . Пусть  и  :
.
Симметрическая билинейная функция  задает скалярное произведение. Векторы  и  ортогональны относительно этого скалярного произведения:  . Тогда векторы  и  образуют ортонормированный базис относительно скалярного произведения, определяемого функцией  .
,
,
,
.
Тогда  ,  .
Запишем координаты векторов  и  в виде столбцов матрицы. Получим матрицу перехода:
.
Отсюда получаем замену переменных: