План: линейные пространства. Линейная зависимость и независимость

3. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ЗАДАННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И ИХ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД.
Пусть L_n – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (а, в).
Определение 61. Симметрическая билинейная форма f (а, в) при условии а = в называется квадратичной формой, заданной на L_n ((а) = f(а, в) ). При этом f(а, в) и (а) называются соответствующими друг другу.
Если в пространстве L_n задан базис е = (е₁, е₂, … , е_n) и а = х₁е₁ + х₂е₂ + … + х_nе_n, то, используя формулу (55), получим запись квадратичной формы в координатах
(а) =  (59)
Матрица квадратичной формы совпадает с матрицей соответствующей симметрической билинейной формы. Квадратичная форма в матричном виде запишется
(а) = х^Т А х (60)
Если в пространстве L_n зафиксирован базис, то между всеми квадратичными формами, заданными на L_n и всеми симметрическими квадратными матрицами порядка n устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Сумма двух квадратичных форм является квадратичной формой. При умножении квадратичной формы на элемент поля Р получается тоже квадратичная форма. При сложении квадратичных форм складываются их матрицы. Если форма умножается на элемент поля Р, то на этот же элемент умножается и её матрица. Следовательно, множество всех квадратичных форм, заданных на L_n , есть линейное пространство, изоморфное линейному пространству квадратных симметрических матриц порядка n. Размерность этого пространства равна  .
Так как квадратичная форма и соответствующая симметрическая билинейная форма имеют одну и ту же матрицу, то связь матриц А и А¹ в разных базисах задаётся формулой (56), т.е. А¹ = Т^ТАТ , где Т – матрица перехода от первого базиса ко второму, Т^Т – матрица, транспонированная для матрицы Т. Следовательно, в разных базисах квадратичная форма имеет более или менее сложные матрицы, а поэтому более или менее сложную запись в координатах. Поэтому возникает задача: найти в пространстве L_n такой базис, в котором квадратичная форма имела бы наиболее простой вид.
Определение 62. Если (а) = ₁х₁² + ₂х₂² + … + _n х_n², то говорят, что квадратичная форма (а) имеет канонический вид.
Если поле Р есть поле рациональных или действительных чисел и
(а) = х₁² + х₂² + … + х_к² – х_к+1² – … – х_r²,
то говорят, что квадратичная форма имеет нормальный вид. В случае, когда Р = С нормальным видом квадратичной формы называют (а) = х₁² + х₂² + …+ х_к² + х_к+1² + .+ х_r².
Теорема 64. Всякая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного преобразования (преобразования координат) может быть приведена к каноническому виду.
Доказательство. Пусть (а) – квадратичная форма, заданная на пространстве L_n . Пусть в L_n задан базис е и пусть в этом базисе (а) = х^Т А х . Матрица А –симметрическая, поэтому по теореме 60 существует такая ортогональная матрица Т, что матрица А¹ = Т^–1АТ будет диагональной, причём на диагонали стоят собственные значения матрицы А (они все – действительные числа). Так как ортогональная матрица невырожденная, то существует такой базис е¹, что Т будет матрицей перехода от базиса е к базису е¹. Так как для ортогональной матрицы Т ^–1 = Т ^Т, то А¹ – матрица данной формы в базисе е¹. Итак, в базисе е¹ данная форма имеет канонический вид.
Замечание. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду описано в примере пункта 8.3.
Теорема 65. Всякую квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду.
Доказательство. В теореме 64 доказано, что квадратичную форму можно привести к каноническому виду. Перенумеровав, если нужно переменные, будем считать, что первые r коэффициентов в каноническом виде отличны от нуля, а остальные (n – r) равны нулю.
1) В случае, когда Р = С сделаем преобразование координат по формулам ().

()	Так как определитель этих формул отличен от нуля, то они задают преобразование координат. В новых координатах (а) = у1^2 + у2^2 + … + уr^2. Получили комплексный нормальный вид квадратичной формы. 2) Если Р = R , т.е. (а) – действительная квадратичная форма, то в каноническом виде запишем сначала члены с положительными коэффициентами, затем – с отрицательными и, наконец, с нулевыми.
()	(а) = 1х1^2 + 2х2^2 + … + к хк^2 – к+1хк+1^2 – … – rхr^2 Сделаем преобразование координат по формулам (), получим (а) = у1^2 + у2^2 + … + ук^2 – ук+1^2 – … – уr^2 . Но это и есть нормальный вид действительной квадратичной формы.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму
 = 2х₁х₂ + 2х₁х₃ – 2х₁х₄ – 2х₂х₃ + 2х₂х₄ + 2х₃х₄ .
Решение. Матрица данной квадратичной формы

А =	Для решения задачи эту матрицу нужно привести к диагональному виду. Это было сделано в примере пункта 8.3. Собственные значения этой матрицы 1 = 2 = 3 = 1, 4 = – 3. Базис из собственных векторов был найден е1^1 = е2^1 = ,
А^1 =	е3^1 = , е4^1 = (1, –1, –1, 1). В этом базисе квадратичная форма будет иметь матрицу А^1. Матрицей перехода от исходного базиса к базису е^1 будет матрица Т.
Т =	Следовательно, форма  будет иметь следующий канонический вид  = х1^2 + х2^2 + х3^2 – 3х4^2.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов
Пусть L_n – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма (а) = . Если n = 1, то форма уже имеет канонический вид, поэтому рассуждение можно вести индукцией по числу переменных. Пусть форму можно привести к каноническому виду, если число переменных не более (n – 1). Докажем его для n переменных. Возможны два случая.
1) Все коэффициенты _кк = 0. Если все коэффициенты равны 0, то можно считать, что форма имеет канонический вид. Поэтому пусть хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Не нарушая общности, можно считать, что ₁₂  0. Сделаем преобразование координат: х₁ = у₁ – у₂ , х₂ = у₁ + у₂ , х₃ = у₃ , … , х_n = у_n . В новых координатах
(а) = ₁₂у₁² – ₁₂у₂² +  , где  не будет содержать у₁² и у₂², поэтому эти слагаемые ни с чем проведены быть не могут. Следовательно, достаточно рассмотреть случай
2) Хотя бы один коэффициент при квадратах переменных отличен от нуля. Пусть ₁₁ 0. Соберём в форме (а) все слагаемые, содержащие х₁, вынесем ₁₁ за скобки, дополним полученную скобку до полного квадрата и компенсируем сделанные добавки.
₁₁( ) +
+  (х₂, х₃, … ,х_n), где  (х₂, х₃, … ,х_n) – квадратичная форма от (n – 1) переменной. По предположению индукции форму  (х₂, х₃, … ,х_n) можно с помощью преобразования координат (х₂, х₃, … ,х_n) привести к каноническому виду. Дополнив это преобразование формулой у₁ =  , получим, что (а) =  .
Рассмотрим этот способ упрощения квадратичной формы на примере.
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму
1)  = 3х₁² + 5х₂² + х₃² – 6х₁х₂ + 9х₁х₃ – 7х₂х₃ .
Решение. Коэффициент при х₁² отличен от нуля, поэтому соберём слагаемые, содержащие х₁ (они подчёркнуты), вынесем за скобки коэффициент при х₁² (т.е. 3) и дополним выражение в скобках до полного квадрата (за скобками компенсируем то, что добавили в скобках), получим
 = 3(х₁² – 2х₁х₂ + 3х₁х₃ + х₂² +  х₃² – 3х₂х₃) – 3х₂² –  х₃² + 9х₂х₃ + 5х₂² + х₃² – 7х₂х₃ =
= 3(х₁ – х₂ + х₃)² +2х₂² – х₃² + 2х₂х₃. Так как коэффициент при х₂² отличен от нуля, то соберём слагаемые, содержащие х₂, вынесем коэффициент при х₂² за скобку и дополним выражение в скобках до полного квадрата. Получим
 = 3(х₁ – х₂ + х₃)² +2(х₂² + х₂х₃ +  х₃²) – х₃² – х₃² =3(х₁ – х₂ + х₃)² + 2(х₂ + х₃)² – х₃². Сделаем преобразование координат:
у₁ = х₁ – х₂ + х₃ , у₂ = х₂ + х₃ , у₃ = х₃. В новых координатах получим, что
 = 3у₁² + 2у₂² – у₃².
Если квадратичная форма задана над полем действительных чисел, то сделав ещё одно преобразование координат: z₁ =  у₁, z₂ =  у₂ , z₃ =  у₃ , получим нормальный вид данной формы  = z₁² + z₂² – z₃².
2)  = х₁х₃ + 2х₂х₃ + 4х₃х₄ .
Решение. Так как данная квадратичная форма не содержит квадратов переменных, то сначала сделаем преобразование координат по формулам: х₁ =у₁ – у₃, х₂ =у₂, х₃ =у₁ + у₃, х₄= у₄. Получим  = (у₁– у₃)( у₁ + у₃) + 2у₂(у₁– у₃) + 4(у₁ + у₃)у₄ = у₁²– у₃² + 2у₁у₂ + 4у₁у₄ –2у₂у₃ + 4у₃у₄. Соберём слагаемые с у₁ (коэффициент при у₁² равен 1, поэтому ничего за скобки выносить не надо). Получим  = (у₁²+ 2у₁у₂ + 4у₁у₄ + у₂² +4у₄²+4у₂у₄) – у₂²– 4у₄²– 4у₂у₄ – у₃²– 2у₂у₃ + 4у₃у₄ = = (у₁ + у₂ + 2у₄)² – (у₂² + 2у₂у₃ + 4у₂у₄ + у₃² + 4у₄² + 4у₃у₄) + у₃²+ 4у₄² + 4у₃у₄ – 4у₄²– у₃² + 4у₃у₄ = = (у₁ + у₂ + 2у₄)² – (у₂ + у₃ + 2у₄)² + 4у₃у₄. Для преобразования последнего слагаемого снова нужно положить у₃ = z₃ – z₄, у₄ = z₃ + z₄. Отсюда z₃ =  , z₄ = . Итак, сделаем преобразование координат по формулам:
z₁ = у₁ + у₂ + 2у₄ , z₂ = у₂ + у₃ + 2у₄ , z₃ = , z₄ = . В новых координатах
 = z₁² – z₂² + 4z₃² – 4z₄².
Список литературы: