Подобный вид моделирования весьма широко распространен и в настоящее время

К МОДЕЛИРОВАНИЮ


3.1. Понятие динамической системы

Термин «динамическая система» первоначально отождествлялся с автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которой удовлетворяет условиям, гарантирующих существование и единственность решения. Позже он стал использоваться для обозначения все большего числа математических моделей и теперь нередко употребляется во всех случаях, когда речь заходит о системах, чье поведение зависит от времени. Среди динамических систем особо выделяют гибридные системы, простейшие примеры которых мы сейчас и рассмотрим.

При изучении окружающих нас физических и технических объектов наблюдаемые явления часто, для упрощения моделирования, делят на длительные и мгновенные и пытаются воспроизвести и те, и другие в рамках одной модели. Для моделирования длительных процессов используются классические динамические системы, описывающие процессы, протекающие с конечными скоростями. Мгновенные процессы возникают, как результат упрощения сложных явлений, длительностью которых можно пренебречь. В определенных временных точках, связанных с событиями, течение непрерывного модельного времени приостанавливается и отдельным переменным разрешается меняться мгновенно, с бесконечной скоростью, или скачками. В модели возникают скорости, не свойственные природе, и она перестает относиться к классическим динамическим системам. Эти модели часто называют кусочными или непрерывно-дискретными. В последнее время их принято называть пришедшим к нам из-за рубежа термином гибридные системы. В основе поведения гибридных систем лежат классические динамические системы, мгновенно сменяющие друг друга.
Определение:
Под динамической системой понимают семейство отображений любого множества в себя, если выполняются условия:
1) непрерывности x по совокупности переменных;
2) ;
3) .
В частности система дифференциальных уравнений:
,
правая часть которой определена во всем пространстве x и удовлетворяет условию Липшица по всем своим аргументам называется динамической (автономной) системой.
Специальная вещественная переменная t играет роль времени. Будем считать, что 0 < t < , то есть решение системы, заведомо существующее в некоторой окрестности точки t =0, продолжаемо на всю полуось.
Наряду с автономной, можно рассматривать неавтономные системы:
; ,
помня о том, что неавтономную систему можно привести к системе автономной, увеличив размерность фазового вектора х на единицу.
; ;
; .
Таким образом, динамическая система (такие системы часто также называют непрерывными) может быть представлена следующими различными формами:

• 
  в виде явной функциональной зависимости;
  
• 
  в виде автономной системы уравнений.
  

Предположим, что мы хотим построить модель для изучения полета тела, брошенного под углом α к горизонту с начальной скоростью V₀ (рис.10). Обозначим через s и f (s) векторы
;

где l(t) – дальность полета, h(t) – высота, (V_l ,V_h ) – соответствующие скорости, l(0) = h(0) = 0 и V_l (0) = V₀ cos(α); V_h (0) =V₀ sin(α). Решение написанных уравнений можно интерпретировать как длительный полет тела на промежутке до момента падения на землю.

Рис. 10. Тело, брошенное под углом к горизонту

Теперь предположим, что мы хотим не только следить за полетом, но и моделировать отскок тела от земли, предполагая, что удар – абсолютно упругий. Это допущение в модели реализуется следующим образом: мы выделяем некое особое состояние – касание тела земли и разрешаем вертикальной составляющей скорости в момент его наступления мгновенно сменить знак на противоположный V_h = – V_h , после чего снова начинаем интегрировать исходную систему с новыми начальными условиями (рис. 11).

Рис. 11. Прыгающий мячик

Таким образом, поведение реального прыгающего мячика может быть вполне удовлетворительно описано последовательностью из «склеенных» между собой решений дифференциального уравнения на отдельных промежутках. На стыках длительных полетов мы пренебрегли как длительностью реального отскока, превратив временной промежуток в точку, так и сложными реальными процессами, происходящими в эти короткие, по сравнению с полетом, промежутки, предположив, что для наших целей достаточно считать, что скорость мгновенно меняет знак. Решение уравнения на конкретном промежутке зависит от начальных условий, которые в свою очередь зависят от наступивших событий (касание земли) и поведения решения на предыдущем интервале (значение скорости в момент касания земли). Эта последовательность решений и является той моделью, которой мы будем заниматься в дальнейшем. Порождающий ее механизм вполне может быть назван автоматом, так мы имеем множество состояний, сменяемых под воздействием заданной последовательности сигналов.

При возникновении событий в моделях, длительное поведение которых описано с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, могут измениться:

• 
  начальные условия;
  
• 
  значения параметров в правых частях;
  
• 
  сами правые части или число уравнений.
  

Однако даже самые простые системы, аналогичные модели прыгающего мячика, у которых могут меняться только начальные условия, уже демонстрируют достаточно сложное поведение.
Во многих задачах смена поведения модели связана с мгновенными изменениями параметров правой части динамических систем, что так же можно свести к изменению только начальных условий, но уже другой системы, большей размерности.
Рассмотрим электрическую цепь (рис. 12), у которой в зависимости от положения ключа меняется значение сопротивления.



Рис. 12. Электрическая цепь с переменным сопротивлением

Поведение этой цепи описывается уравнением

Ключ меняет положение периодически, R^* тоже меняется периодически