Подобный вид моделирования весьма широко распространен и в настоящее время

R^*(t) = R^* (t+T).
Выберем T = 2, тогда

Получаем систему с мгновенным изменением параметров. Преобразуем исходное уравнение в систему уравнений

,
,
.

И дополним новым дифференциальным уравнением:

,
,
,
, …
Последнюю запись следует рассматривать как систему, у которой периодически меняются начальные условия последнего уравнения в точках
t = 1,2,3… . В этих точках значения переменных i, u «склеиваются», образуя непрерывные функции. Такой прием позволяет рассматривать данную систему с неизменной правой частью и меняющимися начальными условиями.
Таким образом любую систему дифференциальных уравнений с кусочно – постоянным параметром P.

Можно записать в виде:

,

Рассмотрим теперь случай, когда в определенные моменты меняется правая часть уравнений. Изменение вида правой части дифференциальных уравнений возникает во многих практических задачах. В задачах механики, например, возмущающая сила или сила трения могут представлять собой кусочно-непрерывные функции. В теории управления кусочно-постоянные функции возникают при так называемом релейном управлении. И в этом случае, можно построить уравнения, у которых все изменения связаны только с изменением начальных условий. Таким образом, достаточно большой класс систем может быть представлен классической динамической системой, у которой в заданные моменты времени меняются только начальные условия, и нас интересует глобальное поведение такой системы в зависимости от правил формирования новых начальных условий.

Прежде, чем дать формальное определение изучаемых систем, введем еще несколько понятий.
При изучении реальных систем часто требуется проверять некоторые, присущие конкретному объекту свойства, которые должны сохраняться на решении s(t). Будем называть их инвариантами и обозначать Inv(t,s(t)). Для модели "прыгающий мячик" инвариантами являются очевидные свойства решения: t,
l(t) > 0 & h(t) > 0.
Члены последовательности решений s(t)={s⁰(t),s¹(t),s²(t)....} исходного дифференциального уравнения, соответствующие решениям с заданными начальными условиями, «отделены» друг от друга событиями, приводящими к смене начальных условий. Эти события в общем случае могут быть описаны предикатами, определенными на решении уравнений – pred(t, s(t)) В дальнейшем такие предикаты будем называть условиями смены поведения. Частым случаем условий смены поведения являются уравнения, корни которых на решении s(t) определяют момент формирования новых начальных условий. При изучении полета с отскоком, смена начальных условий происходит в моменты времени, когда выполняется условие t*: h(t) = 0&Vh<0.
И, наконец, выбор новых начальных условий на новом временном промежутке в его левой, начальной точке может зависеть от значения решения в правой, конечной точке предыдущего промежутка. Будем называть функцию, с помощью которой задаются новые начальные условия, функцией инициализации Init: . При отскоках мячика без потери энергии новые начальные условия всегда выбираются одними и теми же – ; ; ; .
Рассмотренную конструкцию будем называть гибридной системой и обозначать ее буквой H.