Практикум по курсу "Цифровая обработка сигналов"

{ }

ƒ

≤ ≤
Случайные сигналы делятся на стационарные и нестационарные. Стационарны- ми называются такие процессы, статистические характеристики которых не зависят от начального момента времени. В частности, одномерная плотность вероятности процесса ρ не зависит от времени: ρ(t) = Const, а автокорреляционная функция K зависит только от разности моментов времени: K(t₁, t₂) = K(t₂ t₁). Среди стаци- онарных процессов выделяют также эргодические процессы, это такие случайные процессы, для которых среднее значение, вычисленное по ансамблю реализаций, совпадает со средним значением, подсчитанным при усреднениии по времени. В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые случайные процессы являют- ся эргодическими.

−
Возьмем одну из реализаций случайного дискретного процесса x(n), длитель- ностью N : (x_i(0), x_i(1), , ..., x_i(N 1)), i - номер реализации. Для этой временной реализации можно построить ДПФ:

−

N−1

Σ


X_i(k) = x_i(n)e^−j2πkn/N

n=0
Здесь X_i(k) - спектр, построенный по реализации x_i(n). Его называют также пе- риодограммой отдельной реализации случайного процесса. Так как процесс явля- ется случайным, все временные реализации x_i(n), i = 1, 2, ..., M - будут разными,

а значит и разными будут соответствующие периодограммы X_i(k). Соответственно функция X_i(k) будет характеризовать не спектр случайного сигнала, а лишь спектр одной из его реализаций и будет являться случайной функцией частоты. При дру- гом выборе временной реализации мы получим другую периодограмму. Использо- вание периодограммы X_i(k) в качестве спектра случайного сигнала - характерная ошибка спектрального анализа. Для получения спектра случайного процесса необ- ходимо провести операцию статистического усреднения по ансамблю периодограмм X_i(k) _i=1. Однако, нельзя усреднять сами периодограммы - они не являются инва- риантными к выбору начального момента времени: каждая из них будет отличать- ся на свой экспоненциальный множитель e^−j2πkn0/N в соответствии со свойством (3) ДПФ. Поэтому усредняют либо модули X_i(k) (амплитудный спектр), либо, чаще всего - квадраты модулей X_i(k) ² (спектр мощности).

M

{ }

| |

| |
Рассмотрим методику построения спектра мощности случайного дискретного сиг- нала. Для анализа берется некоторая временная реализация сигнала, длинной L точек.

1. Временная реализация делится на ансамбль из M более коротких реализаций длительностью N точек, так что L = M × N :

   
   

x(0), x(1), ..., x(N − 1), x(2N ), ..., x((M − 1)N ), ..., x(L − 1)

^{s 1-ая ре˛ал¸изация x s} M-ая ре^˛а^¸лизация ^x
Получаем ансамбль реализаций x_i(n), i = 1, 2, ..., M , n = 0, 1, ..., N − 1.

2. Выбираем соответствующую функцию временного окна W (n). Домножаем каждую из реализаций на эту функцию³: