Для того, чтобы аппроксимирующий тригонометрический полином
D(α) = Σk ciϕi(α) был полиномом наилучшего равномерного
i=0
приближения функции ξ(α) на совокупности интервалов аппроксимации
∆αi необходимо и достаточно, чтобы абсолютный максимум модуля разности этих функций δ = max D(α) ξ(α) достигался ровно в k + 2 точках α1 < α2 < ... < αk+2, причем в соседних точках знаки разности δi = D(αi) − ξ(αi) должны быть противоположными: δi = −δi+1.
| | | − |
(a) (b)
Рис. 5.5: АЧХ идеального фильтра и синтезируемого КИХ-фильтра НЧ
Совокупность частот, при которых достигается абсолютный максимум:
α1, ..., αk+2 , называется частотами альтернанса
{ }
Применим данный критерий к АЧХ фильтра на рисунке 5.5a. Предположим данный фильтр является фильтром порядка M = 16. Тогда, согласно критерию теоремы Чебышева, максимум разности его АЧХ и АЧХ идеального НЧ фильтра должен достигать в 10 точках, что и имеет место для рассматриваемого фильтра
(δ1, ..., δ10). Однако, все максимумы δi на рис. 5.5a являются разными по величине, следовательно, абсолютный максимум достигается только в одной точке (δ3). По- этому, фильтр, чья АЧХ представлена на этом рисунке не является оптимальным. Рассмотрим теперь фильтр того же порядка с АЧХ, построенной на рис. 5.5b. Здесь также максимум разности АЧХ реального и идеального фильтров достигается в де- сятиточках, но на этот раз, все δi равны по величине и, в соседних точках - проти- воположны по знаку. Поэтому данная АЧХ принадлежит оптимальному фильтру.
Do'stlaringiz bilan baham: |