Практикум по курсу "Цифровая обработка сигналов"

Для того, чтобы аппроксимирующий тригонометрический полином

D(α) = ^Σk c_iϕ_i(α) был полиномом наилучшего равномерного
i=0


приближения функции ξ(α) на совокупности интервалов аппроксимации
∆α_i необходимо и достаточно, чтобы абсолютный максимум модуля разности этих функций δ = max D(α) ξ(α) достигался ровно в k + 2 точках α₁ < α₂ < ... < α_k+2, причем в соседних точках знаки разности δ_i = D(α_i) − ξ(α_i) должны быть противоположными: δ_i = −δ_i+1.

| | | − |



(a) (b)

Рис. 5.5: АЧХ идеального фильтра и синтезируемого КИХ-фильтра НЧ

Совокупность частот, при которых достигается абсолютный максимум:

α₁, ..., α_k+2 , называется частотами альтернанса
{ }
Применим данный критерий к АЧХ фильтра на рисунке 5.5a. Предположим данный фильтр является фильтром порядка M = 16. Тогда, согласно критерию теоремы Чебышева, максимум разности его АЧХ и АЧХ идеального НЧ фильтра должен достигать в 10 точках, что и имеет место для рассматриваемого фильтра

(δ₁, ..., δ₁₀). Однако, все максимумы δ_i на рис. 5.5a являются разными по величине, следовательно, абсолютный максимум достигается только в одной точке (δ₃). По- этому, фильтр, чья АЧХ представлена на этом рисунке не является оптимальным. Рассмотрим теперь фильтр того же порядка с АЧХ, построенной на рис. 5.5b. Здесь также максимум разности АЧХ реального и идеального фильтров достигается в де- сятиточках, но на этот раз, все δ_i равны по величине и, в соседних точках - проти- воположны по знаку. Поэтому данная АЧХ принадлежит оптимальному фильтру.

4.