Практикум по курсу "Цифровая обработка сигналов"

D

 

(a)

0  
 

 

(b)

(c)

Рис. 5.3: Вид АЧХ (a), функции D(ω) (b) и ФЧХ для КИХ фильтра нижних частот с симметричным выбором коэффициентов

Рис. 5.4: АЧХ идеального и реального фильтров НЧ
полосы подавления фильтра (см. рис. 5.4) Таким образом, равномерная норма раз- ности - дает количественную характеристику близости реальной АЧХ к идеальной. Если мы имеем два разных цифровых фильтра, то сравнивая нормы разности их АЧХ и АЧХ идеального фильтра, мы можем определить, какой из них является лучшим.
Пусть нам поставлена задача, создать цифровой фильтр НЧ с граничой частотой полосы пропускания α₁ и граничной частотой полосы заграждения α₂ (рис.). Будем синтезировать КИХ-фильтр 1-го рода четного порядка M = 2k и с симметричным выбором коэффициентов b_i = b_2k−i. Следуя формуле (5.11), АЧХ такого фильтра определяется выбором k + 1 вещественныго числа c_i: K = |D|, где


k
Σ


D(ω) = c_i cos (iω) (5.13)

i=0
. Предположим, каким-то образом нам удалось подобрать некоторый набор коэффи- циентов c_i, так, что функция D(α) достаточно близко подходит к характеристике идеального фильтра (рис.5.5). Является ли данный фильтр оптимальным? Иными словами, можно ли при заданном порядке фильтра M подобрать другие коэффици- енты c_i, так что новый фильтр будет иметь характеристику, лучше аппроксимиру- ющую характеристику идеального фильтра? Ответом на вопрос об оптимальности фильтра является теорема Чебышева: