Практикум по курсу "Цифровая обработка сигналов"

Синтез оптимального фильтра по алгоритму Ремеза

Рассмотрим способ синтеза фильтра, удовлетворяющего критерию теоремы Че- бышева. Прежде всего, убедимся, что нахождение коэффициентов оптимального фильтра c_i эквивалентно нахождению всех частот альтернанса. Действительно, пусть нам известны все k +2 частоты альтернанса. Тогда, в соответствии с теоремой Чебышева, для каждой из этих частот α_n будет выполняться равенство:

{ }


k
Σ
[c_i cos (iα_n)] − ξ(α_n) = (−1)ⁿδ (5.14)


i=0
где δ - максимальное значение отстройки АЧХ реального фильтра от АЧХ идеально- го. Уравнения (5.14) представляют собой k +2 линейных алгебраических уравнений
от k + 2 неизвестных: k + 1 неизвестных коэффициентов c_i и значение δ. Оно легко решается относительно неизвестных c_i и δ
Для нахождения частот альтернанса существует итерационный алгоритм, назы- ваемый алгоритмом Ремеза:

1. Произвольно выбирается набор k + 2 частот: α⁽¹⁾ < α⁽¹⁾ < ... < α⁽¹⁾ , которые

   
   

^{1 2} k+2
будем считать частотами альтернанса в первом приближении.

2. Значения частот подставляются в систему уравнений (5.14). Определяются постоянные c⁽¹⁾ и δ⁽¹⁾, которые также назовем коэффициентами аппроксими- рующего полинома и отстройкой в первом приближении.

   
   i
   

3. Построим функцию D(α) в соответствии с формулой (5.13). Найдем значе- ния частоты, при которых разность D(α) −ξ(α) достигает своего максимума.

   
   

Выбирем из этих точек k + 2 значения α⁽²⁾

1

2

_{< α}(2)

< ... < α⁽²⁾ , в которых

максимумы разности последовательно меняют знак. Эти точки объявляем ча- стотами альтернанса во втором приближении.

k+2

4. Если новая последовательность частот альтернанса совпадает с исходной (с заданной точностью) - алгоритм завершается. Если нет - новая последова- тельность частот альтернанса используется для получения следующего при- ближения (переход к пункту 2 алгоритма).

   
   

Доказано, что алгоритм Ремеза является сходящимся. То есть исходя из любой произвольно выбранной системы точек за конечное число итераций можно получить набор частот альтернанса с желаемой точностью.

Рассмотрим работу алгоритма Ремеза на конкретном примере. Попробуем синте- зировать ФНЧ с полосой пропускания от 0 до 0.4π и с полосой подавления от 0.5π до π. Соответственно, диапазон частот от 0.4π до 0.5π приходится на переходную по- лосу. В качестве аппроксимируемого идеального фильтра будем использовать ФНЧ с полосой пропускания от нуля до средней частоты переходной полосы реального фильтра, то есть от α = 0 до α = 0.45π. АЧХ аппроксимируемого фильтра пред- ставлена на рис. a. Будем использовать фильтр 8-го порядка, что означает, что тригонометрический полином имеет порядок 4. Таким образом, нам необходимо найти шесть частот альтернанса.

Зададим первоначальный набор частот: α₁ = 0, α₂ = 0.1, α₃ = 0.4, α₄ = 0.5, α₅ = 0.6, α₆ = 1 (значения частот здесь и далее нормированы на π). Подста- вим частоты альтернанса первого приближения в формулу (5.14) и решим систе- му уравнений относительно неизвестных c_i и δ. В результате получаем: c₀ = 0.6, c₁ = 0.712,c₃ = 0.183, c₄ = 0.346, c₅ = 0.284 и δ = 0.135. Подставим найден- ные коэффициенты в формулу (5.13) и построим получившуюся характеристику

− −


D(α) (рис. 5.6b). Видно, что фильтр не является оптимальным: в точке α = 0.246 максимум разности значительно превосходит δ и составляет 0.6. Скорректируем частоты альтернанса: вместо α₂ = 0.1 подставим α₂ = 0.246. Новый набор частот альтернанса (частоты во втором приближении) подставим в формулу (5.14) и по- вторим всю процедуру заново. Результат представлен на рис. 5.6c. Здесь δ = 0.12
c

1. идеальная характеристика (b) 1-й шаг