Практикум по курсу "Цифровая обработка сигналов"

θ(ω) = −n₀ω, если ω ∈ ∆ω_t

Таким образом, мы выяснили, что в полосе подавления коэфициент передачи тож- дественно равен нулю, а в полосе пропускания он имеет постоянную амплитуду (модуль) и линейно зависящую от времени фазу. Вид АЧХ и ФЧХ для идеального фильтра нижних частот приведен на рис. 5.2.

Возможна ли реализация идеального фильтра? Нетрудно показать, что идеаль- ный фильтр должен быть некаузальным, а значит его нельзя создать. Действитель- но, рассмотрим, например, идеальный фильтр нижних частот, частотная характе- ристка котрого изображена на рис. 5.2. Эта характеристика задается выражением:

K(ω) = .


A exp (−jn₀ω) если ω ∈ [−ω₀₁ : ω₀₁] 0 если ω ∈/ [−ω₀₁ : ω₀₁]



0   


 (a)

0 _ 




(b)

Рис. 5.2: Амплитудно-частотная (a) и фазо-частотная (b) характеристика идеаль- ного фильтра нижней частоты

Рассчитаем для него импульсную характеристику:

₁ ^ω01

h(n) =
^Σ∫
2π _−ω01


A exp (−jn₀ω) dωΣ =

^Aω01 Sinc [(n − n ) ω ] (5.3)

Из формулы (5.3) видно, что h(n) имеет ненулевые слагаемые для любых значений n, включая отрицательные. Это означает, что идеальный фильтр нижних частот является некаузальным, то есть неосуществимым на практике. Аналогичные свой- ства можно доказать и для других идеальных фильтров.

_π 0 01
Итак, идеальные фильтры неосуществимы. Возникает вопрос: для чего необхо- димо использовать модель идеального фильтра, который нельзя реализовать на практике? Дело в том, что характеристика идеального фильтра не может соответ- ствовать никакому устройству, однако, можно создать фильтры с характеристика- ми, которые будут очень близки к характеристике идеального фильтра.

1. Фильтры с линейной ФЧХ

Комплексная частотная характеристика идеального фильтра соответствует ступен- чатой АЧХ и линейной ФЧХ. В предыдущем разделе была показана неосуществи- мость этой комбинации. Могут ли идеальная АЧХ и идеальная ФЧХ быть реали- зованы по-отдельности? Иными словами, можно ли создать фильтр со ступенчатой АЧХ, ФЧХ которого не является линейной функцией частоты, и, наоборот, можно ли создать фильтр с линейной ФЧХ, АЧХ которого не идеальна? Ответ на первый из этих вопросов отрицателен. Нельзя создать идеальную АЧХ, но можно создать фильтр, АЧХ которого будет сколь угодно близка к идеальной. Ответ на второй вопрос положителен, но только если фильтр имеет конечную импульсную характе- ристику. КИХ фильтры с линейной ФЧХ существуют и их синтез не представляет особых трудностей. Определим те условия, которым должен удовлетворять КИХ фильтр, чтобы его ФЧХ была линейной.

Пусть КИХ фильтр задается уравнением:

M
Σ


y(n) = b_ix(n − i)

i=0
тогда его передаточная характеристика H(z) будет иметь вид:
M
Σ


H(z) = b_iz⁻ⁱ (5.4)

i=0
Соответственно, чтобы получить частотную характеристику надо заменить в вы- ражении (5.4) переменную z на exp (jω):