Предел функции одной переменной. Определение функции. Терминология. Пусть Х, y некоторые множества. Опр

4.3.2.9. Если последовательности , сходятся, то сходятся и последовательности , и
4.3.2.10. (предел суммы последовательностей равен сумме пределов);
4.3.2.11. (предел произведения последовательностей равен произведению пределов);
4.3.2.12. (предел частного последовательностей равен частному их пределов (при условии, что предел знаменателя отличен от 0)).
4.3.3. Число е.
Здесь мы докажем существование числа, играющего исключительную роль в природе и математике - числа е. Это число определяется как .
Утв. 1. Последовательность возрастает с ростом n.
Док-во. По формуле бинома Ньютона
Эта сумма содержит ровно n+1 член. Если перейти от n к n+1, то количество слагаемых увеличится на 1 и каждое слагаемое возрастёт a_n+1>a_n.
Утв. 2. Последовательность ограничена.
Док-во. Оценим величину сверху. Каждое слагаемое в полученной сумме оценивается величиной . Тогда вся сумма
Итак, последовательность возрастает и ограниченаона имеет предел. Этот предел и определяет число е, , зашитое во все природные явления столь же фундаментально, как и число .

4.4. Предел функции одной переменной.

4.4.1. Предел функции.
В этом разделе мы изучим основное понятие математического анализа - предел функции. Все остальные объекты, которые встречаются в анализе (производная, интеграл и т.д.) определяются с помощью предела.
4.4.1.1. Определение предела функции в точке.
Опр.4.4.1. Пусть а - предельная точка области определения Х функции f(x). Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого числа >0 существует такое число  (вообще говоря, положительное и зависящее от ), что если хХ принадлежит также проколотой -окрестности точки а, то значение функции f(x) принадлежит -окрестности числа b.
Обозначения: ; f(x) b при x а; .
К раткая форма записи: .
Неравенство расписывается в виде двустороннего неравенства как или . Аналогично неравенство можно расписать как . Поэтому смысл определения предела таков: , если для любой наперед заданной степени близости значений f(x) к числу b мы в состоянии найти такую близость аргумента х к числу а, которая обеспечивает эту близость f(x) к b. Заметим, что в определении никак не участвует значение f(а) функции f(x) в точке а, в частности, f(а) не обязательно должно быть равным b; более того, f(x) может быть вообще не определена в точке а.
Рассмотрим два простых примера. Докажем, что 1. ; 2. (дальше мы увидим, что предел любой элементарной функции при стремлении х к любой точке области определения этой функции равен значению функции в предельной точке).

1. 
   Возьмём >0. Требуется найти такое 0, что 0<| x-2 |<| x²-4 |<, т.е. | (x-2)(x+2) |<. Договоримся сразу брать <1, тогда из | x-2 |<2-<x<2+x<3x+2<5. Неравенство
   

| (x-2)(x+2) |< будет обеспечено, если . Таким образом, если в качестве  взять , то при | x-2 |<() получим |x+2|<5| (x-2)(x+2) |=| x-2 || x+2 |< *5=, что и требовалось.

2. 
   Возьмём >0. Требуется найти такое 0, что 0<| x-/6 |<| sin x-1/2 |<
   

| sin x- sin(/6)|<  <.Так как , |sin |<|| при 0, то требуемое неравенство будет выполнено, если взять ()= (Тогда из <| x-/6 |<= ; , что и требовалось.

3. 
   Более сложный пример-функция Дирихле
   

В любой окрестности любого вещественного числа а имеются и рациональные, и иррациональные точки, обеспечить одновременное выполнение неравенств | b-1 |< и | b-0 |< при <1/2 невозможно ни при каком значении b, следовательно, функция Дирихле не имеет предела ни при каком стремлении аргумента.
Рассмотрим ещё одно определение предела, эквивалентное предыдущему.