Предел функции одной переменной. Определение функции. Терминология. Пусть Х, y некоторые множества. Опр

Теор. 4.4.3 (о локальной ограниченности функции, имеющей предел). Если функция имеет предел b при ха, то она ограничена в некоторой окрестности точки а.
Док-во. Возьмём =1. : 0<| x-a |< | f(x)- b |<1 -1< f(x)- b<1 b-1< f(x)< b+1в -окрестности точки а f(x) ограничена сверху и снизу она в этой окрестности ограничена.
Теор. 4.4.4 (о сохранении функцией знака предела). Если функция имеет предел b при ха, и число b>0 (либо b<0), то существует окрестность точки а, в которой f(x)>0 (либо f(x)<0).
Док-во. Рассмотрим для определённости случай b>0. Возьмём = b/2. : 0<| x-a |< | f(x)- b |< b/2 - b/2< f(x)- b< b/2 b- b/2< f(x)< b+ b/2 f(x)> b/2>0, что и требовалось доказать.
Очевидные следствия: 1. Если b>B, то f(x)> B в некоторой окрестности предельной точки; 2. Если f(x)>0 в некоторой окрестности предельной точки, то не может быть b<0.
Теор. 4.4.5 (о переходе к пределу в неравенстве). Если в некоторой окрестности точки а функции f(x), g(x) удовлетворяют неравенству f(x)g(x) и имеют пределы при ха, то и их пределы удовлетворяют неравенству .
(Напомним, что когда мы говорим о некоторых свойствах функций, имеющих предел, в окрестности предельной точки, то подразумеваем, что эти свойства выполняются во всех точках этой окрестности, за исключением, возможно, самой предельной точки. Значение функции в предельной точке никак не участвует в определении предела и вообще может не существовать).