Предел функции одной переменной. Определение функции. Терминология. Пусть Х, y некоторые множества. Опр

Опр.4.1.3. Функция называется ограниченной сверху на множестве Х, если существует такое число М, что для любого xX выполняется неравенство f(x)М.
В краткой форме записи: f(x) ограничена сверху на Х {МR  xX f(x)М}.
Опр.4.1.4. f(x) ограничена снизу на Х {МR  xX f(x) М}.
Опр.4.1.5. f(x) ограничена на Х {МR  xX | f(x)| М}. (Другими словами,
-М  f(x) М, т.е. f(x) ограничена и сверху и снизу).
Опр.4.1.6. f(x) возрастает (не убывает) на Х { x₁, x₂X x₁<x₂  f(x₁) f(x₂)}.
Опр.4.1.7. f(x) строго возрастает на Х { x₁, x₂X x₁<x₂  f(x₁)< f(x₂)}.
Опр.4.1.8. f(x) убывает (не возрастает) на Х { x₁, x₂X x₁<x₂  f(x₁) f(x₂)}.
Опр.4.1.9. f(x) строго убывает на Х { x₁, x₂X x₁<x₂  f(x₁)> f(x₂)}.
Опр.4.1.10. f(x) монотонна на Х, если она или возрастает, или убывает на Х.
Опр.4.1.11. f(x) строго монотонна на Х, если она или строго возрастает, или строго убывает на Х.
Пусть дано отображение Х на Y: F : XY. Обратным отображением F ^-1: Y  X называется отображение, которое каждому элементу у Y ставит в соответствие тот элемент xX, для которого F(х) = у. Для того, чтобы обратное отображение было функцией, необходимо, чтобы этот элемент х определялся однозначно, т.е. чтобы прямое отображение F : XY было взаимно-однозначным. Таким образом, для того, чтобы функция у = f(x) с областью определения X и областью значений Y = Y_f имела обратную функцию, необходимо и достаточно, чтобы она принимала разные значения в разных точках: x₁x₂  f(x₁)  f(x₂). Формальное определение:
Опр.4.1.12. Пусть функция у = f(x) взаимно-однозначно отображает множество X на множество Y. Обратной к f(x) называется функция x=g(y) с областью определения Y и множеством значений X, которая каждому у Y ставит в соответствие тот элемент xX, для которого f(х) = у. Часто для обратной функции применяется обозначение x=f ^-1(y).
Очевидно, что 1. если g(y) обратна к f(x), то f(x) обратна к g(y) (т.е. эти функции взаимно обратны); 2. f(g(y)) = y, g(f(x)) = x. Очевидно также, что строгая монотонность функции обеспечивает существование обратной функции, при этом обратная функция тоже строго монотонна. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.
Опр.4.1.14. Функция у = f(x) называется чётной, если
1. её область определения симметрична относительно точки x = 0 (т.е. если xX, то и -xX);
2. для xX f(x) = f(-x).
Опр.4.1.14. Функция у = f(x) называется нечётной, если
1. её область определения симметрична относительно точки x = 0;
2. для xX f(x) = -f(-x).
Функции, не являющиеся ни чётными, ни нечётными, принято называть функциями общего вида.
Любую функцию, область определения которой симметрична относительно точки x = 0, можно единственным образом представить в виде суммы чётной и нечётной.
Опр. 4.1.15. Функция называется периодической, если существует число Т0 такое, что для xX: 1. x+ТX; 2. f(x+Т) = f(x). Число Т называется периодом функции.
Периодическими являются тригонометрические функции. Нетривиальные примеры: периодична любая постоянная функция f(x) = С=const; периодична функция Дирихле, причем её периодом может служить любое рациональное число. Из определения следует, что если Т - период функции, то числа 2Т, 3Т, …. - тоже периоды. Наименьший отличный от нуля положительный период называется основным периодом. Функция Дирихле демонстрирует пример периодической функции, не имеющей основного периода.

2. 
   Гиперболические функции.
   

4.2.1. Определение гиперболических функций.
Опр. 4.2.1. Гиперболическими называются функции
- синус гиперболический; - косинус гиперболический;
- тангенс гиперболический;
- котангенс гиперболический.
Графики гиперболических функций:
4
.2.2. Соотношения между гиперболическими функциями.
Исходя из определения гиперболических функций можно получить различные соотношения между этими функциями, схожие с соответствующими соотношениями между тригонометрическими функциями, или, в некоторых случаях, отличающиеся знаком перед некоторыми слагаемыми. Так, прямой подстановкой проверяется равенство (основное гиперболическое тождество, играющее в теории гиперболических функций ту же роль, какую в тригонометрии играет основное тригонометрическое тождество ).
Прямой проверкой или из основного гиперболического тождества можно получить аналог любой тригонометрической формулы, например
sh 2x = 2 shx chx
и т.д. Получать эти соотношения можно также руководствуясь мнемоническим правилом (оно доказывается в комплексном анализе): вместо cos x пишется ch x, а вместо sin x пишется ish x, где i - мнимая единица ( i= i = -1).