При с концами в точках и отрезком оси, а характеристический треугольник, ограниченный при отрезком и двумя характеристиками уравнения 3

I. Пусть выполнены условия (3.4) и (3.5), тогда в области для уравнения (3.1) исследуем следующую задачу.
Задача . Найти регулярное в области решение уравнения (3.1), непрерывное со своими производными в замкнутой области и удовлетворяющее условиям:
, (3.7)
, (3.8)
(3.9)
(3.10)
где заданные функции, а внешняя нормаль к кривой и причем
(3.11)
(3.12)
(3.13)
функция обращается бесконечность порядка меньше при а при ограничена.
II. Пусть выполнены условия (3.4) и (3.6), тогда в области для уравнения (3.1) исследуем следующую задачу.
Задача . Найти регулярное в области решение уравнения (3.1), непрерывное со своими производными в замкнутой области и удовлетворяющее условиям (3.7)-(3.10) и
(3.14)
где заданные функции, причем
(3.15)
(3.16)


3.1.2. Функциональное соотношение из областях на
Положим
(3.17)
Известно, что любое классическое решение уравнение (3.1) в области
можно быть представлено в виде[29]
(3.18)
где гармоническая функция, произвольная непрерывно -дифференцируемая функция, причем
(3.19)
где точка, принадлежащая кривой в которой
Тогда уравнение (3.1) в областях можно переписать в виде двух систем
(3.20)
(3.21)
где общее решение уравнения Она имеет вид
(3.22)
_где произвольная непрерывно - дифференцируемая функция, причем
Теперь находим функциональное соотношение из областях на .
Решение задачи Коши с условиями
(3.23)
для уравнения (3.21) с учетом (3.22) в области дается формулой

. (3.24)
Поставляя (3.24) в (3.9) и (3.10) получаем

(3.25)


или
(3.26)
Дифференцируя (3.25) и (3.26) по с учетом (3.5), находим
(3.27)
(3.28)
где
(3.29)
Формула (3.27) дает первое функциональное соотношение между и принесённое из области на
Принимая во внимании (3.4) и (3.5) решение задачи [29] уравнения (3.20), удовлетворяющее условиям
(3.30)
(3.31)
в области выражается формулой
(3.32)
_где

(3.33)
где функция Грина задачи Дирихле [29] для уравнения , удовлетворяющая однородному условию (3.30) и (3.31), а функция, гармоническая в области по координатам обеих точек и , а определяется из (3.28), в силу (3.19) функцию можно представить в виде (см. [29, стр.124]).
Положив в (3.32) с учетом (3.5) и , а затем, дифференцируя по получим
(3.34)
где
_(3.35)
Формула (3.34) дает второе функциональное соотношение между и принесённое из области на
_3.1.3. Единственность решения задачи