При с концами в точках и отрезком оси, а характеристический треугольник, ограниченный при отрезком и двумя характеристиками уравнения 3
Download 0.63 Mb.
|
3.1-paragrif
Доказательство. В силу (3.5), (3.18) и (3.19) в области регулярное решение уравнения
(3.43) удовлетворяющее условиям (3.30) и (3.44) выражается формулой (3.45) где функция Грина задачи Дирихле [29] для уравнения , удовлетворяющая однородному условию (3.30) и (3.44), а функция, гармоническая в области по координатам обеих точек и , а определяется из (3.28). В силу (3.18) из (3.8) находим (3.46) Теперь находим неизвестный функцию при Для этого реализуем условие (3.46) в (3.45) с учетом (3.4) и (3.5), получим (3.47) (3.48) где Интегралы, участвующие в равенстве (3.47) и (3.48) интегрируем по частям, имеем (3.49) (3.50) где В формулах (3.49), (3.50) переходим к пределу (см. (3.46)), а затем принимая формулы предельного перехода[29],[34]: (3.51) (3.52) получим сингулярное интегральное уравнение относительно неизвестной функции при (3.53) где а функция определяется из (3.28). Переходя к вопросу о разрешимости сингулярного интегрального уравнения (3.53), прежде всего, заметим, что оно является уравнением нормального типа [48], т.е. Его индекс равен нулю в класcе [48], [60, стр.160], которое ограничено при , а при неограниченно. Ядро имеет слабую особенность[29]. Теперь покажем, что индекс уравнения (3.53) равен нулю в классе . Рассмотрим функцию[48]: (3.54) где Из (3.54) следует, что концы контура являются не особенными узлами. Вычислим индекс уравнения (3.53). Для этого найдем действительные числа по формуле[48]: (3.55) здесь концы контура, причем нижний знак берется при а верхний знак при Вычислим (3.56) Отсюда учитывая, что из (3.56) имеем (3.57) 1. Пусть тогда из (3.55) с учетом (3.57) находим где . Выберем так, чтобы, следовательно 2. Пусть тогда из (3.55) с учетом (3.57) имеем . Выберем так, чтобы, следовательно Отсюда, по определению индекса[48] вычисляя индекс класса , имеем (3.58) Индекс уравнения (3.53) равен нулю в класcе . Что и требовалось доказать. Аналогично как § 1.1, гл.1 сингулярное интегральное уравнение (3.53) известным методом регуляризации Карлемана – Векуа [48] сведем к эквивалентному уравнению Фредгольма второго рода относительно , безусловная разрешимость которого следует из единственности решения задачи (см. теоремы 3.1). Из уравнения (3.53) находим функции , а затем, подставляя ее в (3.32) или (3.45), полностью определяем функцию в области . Теперь в области решаем задачу Ее решение можно записать в виде[34]: (3.59) где . Тогда в силу (3.32) и (3.45) из (3.59) соответственно получим решение задачи и Дирихле в области . Download 0.63 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling