При с концами в точках и отрезком оси, а характеристический треугольник, ограниченный при отрезком и двумя характеристиками уравнения 3

Теорема 3.1. Если то задача в области не может иметь более одного решения.
Доказательство. Докажем теорему 3.1 на основании энергетических тождеств и принципа экстремума. Пусть трижды непрерывно дифференцируемое решение однородной задачи в области и , здесь - область с границей , строго лежащей в области , - достаточно малое положительное число.
Умножим уравнение (3.1) при на с учетом тождество

и интегрируя, по области , получим

(3.36)
Применяя формулу Грина к интегралу (3.36), имеем

Отсюда переходя к пределу при , а также учитывая условия теоремы 3.1, (3.20) и , получим

, (3.37)
где - длина дуги кривой - отсчитываемая от точки ,
(3.38)
Так как на то на _,поэтому на границе области выполняются равенства
(3.39)
В силу равенств из выражения (3.37) имеем


Отсюда, учитывая условия теоремы 3.1, получим

(3.40)
Принимая во внимание с учетом (3.27), (3.28), и условия склеивания, вычислим второй интеграл (3.40):
(3.41)
Из (3.40) и (3.41) с учетом (3.3) и следует, что
(3.42)
Тогда согласно принципу экстремума для эллиптических и гиперболических уравнений[24] с учетом (3.42) заключаем, что, задача с нулевыми граничными условиями, не имеет отличного от нуля решения в области , т.е.
Тем самым, решение задачи единственно.
Теорема 3.1 доказана.
_{3.1.4. Существования} решения задачи
Теорема 3.2. Если выполнены условия (3.2)-(3.5), (3.11) - (3.13), то в области регулярное решение задачи существует.