Применение метода координат при решении задания 14 (С 2)

III. Применение теоретического материала при решении задач 14( С2):

1. 
   Задача на нахождение угла между плоскостями.
   

(Типовые тестовые задания. Математика. ЕГЭ. Под ред. Ященко – 6 вариант. 2016 год)
З адание. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины ребер АА₁=15, АВ=12, AD=8. Точка К – середина ребра C₁D₁, а точка L делит ребро ВВ₁ в отношении 4:1, считая от вершины В₁. Найти косинус между плоскостями LKA₁ и A₁B₁C₁.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат. Найдем координаты каждой точки плоскости (LKA₁) и (A₁B₁C₁).
L(0; 0; 3), K(6; 8; 15), A₁(12; 0; 15) А₁(12; 0; 15), В₁(0; 0; 15), С₁(0; 8; 15)
Составим уравнение плоскости (Ax+By+Cz+D=0), проходящие через эти точки:


D=12, C=-4, B=3, A=4 D=15, C=-1, B=0, A=0.
Тогда уравнение плоскости будет:
4х+3у-4z+12=0 -z+15=0
Воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между плоскостями:

Вычислим: cos(α, β)=
Ответ: .

2. 
   Задача на нахождение угла между прямыми (открытый банк заданий ФИПИ- 2016 год).
   

За­да­ние. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ги­по­те­ну­зой AB, рав­ной   Вы­со­та приз­мы равна 6. Най­ди­те угол между пря­мы­ми AC₁ и CB₁.
Решение: Найдем из равнобедренного прямоугольного треугольника АВС катеты АС и СВ по теореме Пифагора: АС²+СB²=AB², 2x²=128, x²=64, x=8.
Введем прямоугольную систему координат. Найдем координаты каждой точки прямых АС₁ и СВ₁.
A(0; 8; 0), C₁(0; 0; 6) C(0; 0; 0), В₁(8; 0; 6)
Найдем вектора: АС₁(0; -8; 6) и СВ₁(8; 0; 6).
Воспользуюсь формулой для нахождения угла между векторами:
получу: cosφ=
Отсюда φ=arccos 0,36