Problem Background

Masalani qo’yilishi

Reall dunyoda tez-tez uchraydigan bo'lakli-uzluksiz o’zgarmas argumentlar bilan bog'liq ko'plab hodisalar mavjud. Bo'lakli-uzluksiz o’zgarmas argumentni o'z ichiga olgan tegishli differentsial tenglamalar bilan bu hodisalarni modellashtirish mumkin. Ushbu tadqiqotda (1.1) ko’rinishdagi bo'lakli-uzluksiz o’zgarmas argumentli birinchi tartibli differensial tenglama (BUADT)ni tadqiq qilinadi. Tenglama yechimi mavjudlik shartida J.Viener va V.Lakshmikantham [4] tomonidan ishlab chiqilgan tenglamalarni mavjudlik va yagonalik sharti qo'llaniladi. Undan keyin tenglamaning davriy yechimlarga ega bo'lgan xossalari o’rganiladi.
Tadqiqot maqsadi
a) (1.1) tenglama uchun yagonalik shartini berish.
b) Ayrim g sinf funksiyalari uchun (1.1) tenglamani yechish.
c) (1.1) ning davriy yechimining mavjudligi shartlarini aniqlash.

3. Tadqiqot sohasi

Tadqiqot (1.1) ko’rinishdagi bo'lakli-uzluksiz o’zgarmas argumentli birinchi tartibli differensial (BUADT) tenglamani o’rqanishga qaratilgan. Shuningdek, tadqiqot doirasining ayrim sinf funksiyalari uchun tenglama yechimi mavjudlik shartlari va tenglamani regular yechimini topishga qaratiladi.

4. Tadqiqotning ahamiyati

Tabiy fan va muhandislikda ko'plab masalalarda bo’lakli argumentli modellarni ko’rish mumkin va ularning xatti-harakatlari an'anaviy uzluksiz tizimlar bilan solishtirganda o'ziga xoslikni ko'rsatadi. Yuqoridagi qaralayotgan tenglama va uni ishlash usullari fan, muhandislik va boshqa sohalarga qiziqish uyg’otishi mumkin.
Tenglama yechimi ta’rifi va mavjudlik sharti
Ushbu bo'limda biz [4] da olingan usulni qo’llab, bo'lakli-uzluksiz argumentli tenglama uchun mavjudlik sharti vadifferensial tenglama yechimining ta'rifini beramiz.
Faraz qilaylik , n = 0, 1, 2, … , usuvchi ketma-ketlik va , da bo’lsin. Bundan tashqari g(t) funksiya da aniqlangan va har bir interval da uzgarmas qiymatlarni qabul qilsin:

(2.4)

Quyidai Koshi masalasini qaraymiz:

,

(2.5)

Bu erda f berilga uzluksiz funksiya.
Ta’rif 2.1 Agar x(t) funksiya quyidagi 3 ta shartni qanoatlantirsa, unga (2.5) tenglamaning yechimi deb ataladi:

1. 
   funksiya da uzluksiz;
   
2. 
   Bu funksiyaning hosilasi nuqtalardan boshqa har bir nuqtada mavjud, nuqtalarda bir tamonlama hosila mavjud bo’lsin;
   
3. 
   funksiya (2.5) tenglamani har bir intervalda qanoatlantirsin.
   

Quyidagi teorema [4] ishda isbotlangan.

Theorem 2.1 Faraz qilaylik, ushbu parametrga bog’liq differensial tenglama

(2.6)

yagonalik va mavjudlik shartlarini sohada qanoatlantirsin bu yechimni [0, ∞) sohada davom ettirsin, va faraz qilaylik ushbu
tengsilik barcha larda o’rinli bo’lsin. U holda da (2.5) tenglama yagona yechimga ega bo’ladi.