Программа и учебные материалы элективного курса по математике для учащихся 10-11 классов «конструкция «треугольник-окружность» иее применение в решении задач геометрии»

^.KC = AB² – KB².

39. В остроугольном треугольнике со сторонами а, b и с из центра описанной окружности опущены перпендикуляры на стороны. Длины этих перпендикуляров равны соответственно т, п и р. Доказать, что .

40. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных на стороны треугольника, или на продолжения сторон из произвольной точки описанной около треугольника окружности, лежат на одной прямой.

41. Доказать, что если а и b - стороны треугольника, l - биссектриса угла между ними и а', b' - отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону, то l²=ab - а' b' .

42. Доказать, что радиус описанной около треугольника окружности, прове­денный в одну из вершин треугольника, перпендикулярен прямой, соединяющей ос­нования высот, проведенных из двух других вершин треугольника.

43. Около треугольника АВС описана окружность. Через точку В проведена касательная к окружности до пересечения с продолжением стороны СА за точку А в точке D. Найти периметр треугольника АВС, если АВ+AD =АС, CD =3, BAC = 60^о.

44. В окружность радиуса R вписан правильный треугольник АВС. Хорда BD пересекает АС в точке Е так, что АЕ : СЕ = 2 : 3. Найти CD.

45. В трапеции ABCD биссектриса угла А пересекает основание ВС (или его продолжение) в точке Е. В треугольник АВЕ вписана окружность, касающаяся сто­роны АВ в точке М и стороны ВЕ в точке Р. Найти угол BAD, если известно, что АВ : МР = 2.

46. Гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписан­ной окружности на отрезки, отношение которых равно k (k > 1). Найти углы тре­угольника.

47. Найти угол при основании равнобедренного треугольника, если известно, что его ортоцентр лежит на вписанной окружности.

48. Отрезки AD, ВМ и СР - медианы треугольника АВС. Окружность, опи­санная около треугольника DMC, проходит через центроид треугольника АВС. Доказать, что

ABM= , а BAD = PCA.

49. В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что ее диа­метр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки 15 и 20 см. Найти радиус полуокружности.