Программалаш масалалари

11-Маъруза.
Чизиқли моделлар.
Чизиқли программалаш масалалари.

1. 
   Корхонада А, В ва С маҳсулотларни тайѐрлаш учун токарлик, фрезерлик, пайвандлаш ва силлиқлаш ускуналаридан фойдаланилади. Ҳар бир маҳсулотнинг бир бирлигини тайѐрлаш учун сарфланадиган вақт нормаси, ҳар бир ускунанинг умумий иш вақти фонди, ҳамда ҳар бир турдаги бирлик маҳсулотни сотишдан олинадиган даромад ҳам 1- жадвалда келтирилган.
   

1-жадвал

Ускуналар	Ҳар бир турдаги маҳсулот бирлигини ишлаб чиқариш учун сарфланадиган вақт (станок-соат)			Ускунанинг умумий иш вақти фонди (соат)
	А	В	С
Токарлик	1	8	6		280
Фрезерлик	2	4	5		120
Пайвандлаш	7	4	5		240
Силлиқловчи	4	6	7		360
Даромад (шартли бирлик)	10	14	12

Корхона маҳсулотларни сотишдан оладиган даромад энг кўп бўлиши учун қайси турдаги маҳсулотдан қанча ишлаб чиқариш кераклигини аниқлаш талаб қилинади. Масаланинг математик моделини тузамиз.
Ечилиши: Айтайлик, корхона х₁ дона А, х₂ дона В ва х₃ дона С маҳсулот тайѐрлашни режалаштирган бўлсин. У ҳолда, шунча миқдордаги маҳсулотни тайѐрлаш учун

1·х₁+8х₂+6х₃

станок-соат токарлик ускунасининг вақти сарфланади.
Токарлик ускунасидан фойдаланиш вақти жами
280 соатдан ошмаслиги керак, яъни

х₁+8х₂+6х₃ 280

тенгсизлик бажарилиши лозим.
Худди шунга ўхшаш мулоҳазалар билан фрезерлик, пайвандлаш ва силлиқлаш ускуналаридан фойдаланиш вақтига нисбатан қуйидаги тенгсизликлар ҳосил бўлади.

2x₁+4x₂+5x₃  120

7x₁+4x₂+5x₃  240

7x₁+6x₂+7x₃  360

Тайѐрланадиган маҳсулотлар сони манфий бўла олмайди, шу сабабли

x₁≥0, x₂≥0, x₃≥0.

Шунингдек, агар х₁ бирлик А, х₂ бирлик В ва х₃ бирлик С маҳсулот тайѐрланса, уларни сотишдан корхона оладиган жами даромад

F=10х₁+14х₂+12х₃

шартли бирликни ташкил этади.
Шундай қилиб, қуйидаги математик масалага келамиз:
(1)

системани қаноатлантирувчи шундай

x₁≥0, x₂≥0, x₃≥0 (2)
номаълумларни топиш керакки, улар

F=10х₁+14х₂+12х₃ (3)

функцияга максимал қиймат берсин.
Юқорида келтирилган (1), (2) ва (3) муносабатлар берилган масаланинг математик моделини ифодалайди.

2. 
   Чорва молларини тўйимли озиқлантириш учун ҳар чорва моли бир кунда А озуқа моддасидан камида 60 бирлик, В озyқадан камида 50 бирлик ва С озуқа моддасидан камида 12 бирлик қабул қилиши керак. Кўрсатилган озуқа моддалар 3 хил турдаги ем маҳсулотлари таркибида мавжуд. Ҳар 1 кг ем маҳсулоти таркибидаги озyқ моддаларнинг миқдори қуйидаги жадвалда келтирилган:
   

Озyқ моддалар	1кг ем маҳсулоти таркибидаги озyқ моддалар миқдори
	I	II	III
A	1	3	4
B	2	4	2
C	1	4	3

Агар 1 кг I, II ва III турдаги ем маҳсулотларининг баҳоси мос равишда 9, 12 ва 10 шартли бирликдан иборат бўлса, баҳоси энг арзон бўлган ҳамда зарур тўйимлиликка эга бўлган кунлик рацион қандай бўлади? Масаланинг математик моделини тузамиз.


Ечилиши: Кунлик рацион таркибидаги I хил ем миқдори х₁, II хилиники х₂ ва III хил ем миқдори х₃ бўлсин. У ҳолда рационнинг зарур тўйимлиликка эга бўлиши талаби қуйидаги тенгсизликлар системаси орқали ифодаланади.

Ўз маъносига кўра х₁, х₂, х₃, номаълумлар манфий бўла олмайди, яъни:

x₁≥0, x₂≥0, x₃≥0.

Кунлик рационнинг умумий баҳоси эса

F= 9х₁+12х₂+10х₃

функция билан ифодаланади.

Шундай	қилиб,	қаралаѐтган масаланинг
математик иборатдир:	модели	қуйидаги муносабатлардан

(4)

x₁≥0, x₂≥0, x₃≥0, (5)

F=10х₁+14х₂+12х₃ →min (6)

3. 
   Ўлчами 6х13 м² бўлган тунука материалларини шундай қирқиш керакки, унда икки хилдаги қирқимлар, яъни ҳар бири 4х5 м² ўлчамли 400 та, ҳар бири 2х3 м² ўлчамли 800 та қирқимлар ҳосил бўлсин. Ҳар бир тунукани қирқиш усуллари ва бунда олинадиган турли ўлчамдаги қирқимлар сони қуйидаги жадвалда берилган.
   

Қирқимлар ўлчами (м^2)	Тунукани киркиш усуллари
	I	II	III	IV
4x5	3	2	1	0
2x3	1	6	9	13

Умумий сони кўрсатилган миқдордан кам бўлмаган ва энг кам чиқиндига эга бўлган қирқимлар тайѐрлаш режасини топинг. Масалани математик моделини тузамиз.
Ечилиши: Mасаланинг номаълумларини белгилаймиз:
х₁-I усулда, х₂-II усулда, х₃- III усулда ва х₄- IV усулда қирқиладиган тунукалар сони бўлсин. Унда, x₁≥0, x₂≥0, x₃≥0, x₄≥0 бўлиши кераклиги равшандир.
Агар битта тунука донаси I усулда қирқилса,
ундан


6х13м²-(3(4х5)+1(2х3))м²=78м²-66м²=12м²

чиқинди ҳосил бўлади.

Шунга ўхшаш, II усулда қирқилса,


78м²-(2(4х5)+6(2х3))м²=78м²-76м²=2м²

чиқинди,
III усулда

78м²-74м²=4м²
ва IV усулда чиқинди ҳосил бўлмайди.
Тунукаларни қирқишда ҳосил бўладиган жами чиқиндилар миқдори
F=12х₁+2х₂+4х₃+0х₄
йиғиндидан иборат бўлиб, мақсадимиз уни минималлаштиришдир.
Масаланинг математик модели қуйидагича


(7)

x₁≥0, x₂≥0, x₃≥0, x₄≥0. (8)

F=12х₁+2х₂+4х₃ →min. (9)

Юқорида кўрсатилган масалаларнинг математик моделларида (1), (2), (4), (5), (7), (8) шартлар

чегаравий шартлар ва (3), (6), (9) функциялар эса мақсад функцияси деб аталади.
2. Оддий чизикли дастурлаш масаласини симплекс усулда ечиш

1 - Мисо л . Корхона 4 хил махсулот ишлаб чикаради. Махсулотларни бир бирлигини бахоси мос равишда 2, 1, 3 ва 5 бирлик. Ишлаб чикариш учун учта ресурс ишлатилади энергия, хом ашѐ ва мехнат русурслари. Махсулотни бир бирлигини ишлаб чикариш учун ресурслар нормаси куйидаги жадвалда келтирилган жадвал 1.

Таблица 1..

	1-й продукт	2-й продукт	3-й продукт	4-й продукт	Ресурслар
Энергия	2	3	1	2	30
Хом ашѐ	4	2	1	2	40
Мехнат	1	2	3	1	25
Бахо	2	1	3	5

Оптималлик критерияси — корхонани махсулотларини реализация килишни масималлаштириш.
Масалани ечиш учун иктисодийтематик моделни тузамиз. Белгилашлар киритамиз:


^x₁ – 1-махсулотни ишлаб чикариш микдори, дона; ^x₂ – 2-махсулотни ишлаб чикариш микдори, дона; ^x3 ^{– 3-махсулотни ишлаб чикариш микдори, дона; x}₄ – 4-махсулотни ишлаб чикариш микдори, дона.
Масаланинг шартини чекланишлар системаси куринишида ѐзамиз:

1. 
   Энергиядан фойдаланиш:
   

2x₁
 3x₂

• 
  x₃
  

 2x₄
 30;

2. 
   Хом ашѐдан фойдаланиш:
   

4x₁
 2x₂

• 
  x₃
  

 2x₄
 40;

3. 
   Ишчи кучидан фойдаланиш:
   

x₁  2x₂
 3x₃

• 
  x₄