«Проведение обобщающих уроков по математике в начальных классах»

Oбъект курсовой работы: процесс обучения математике в начальной школе.
Предмет курсовой работы: применение алгоритмов на уроках математики в начальной школе.
Цель курсовой работы: изучение методических особенностей применения алгоритмов в начальной школе с целью формирования умение ученика.
В соответствии с целью определены следующие задачи:
определить сущность понятия «алгоритм»;
выявить основные виды алгоритмов, используемые на уроках математики в начальной школе;
проанализировать учебники математики начальной школы на включение в них алгоритмов в соответствии с ФГОС НОО;
разработать систему уроков с использованием алгоритмов в соответствии с ФГОС НОО.
Методологическую основу исследования составляют: теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина); дидактические исследования в области алгоритмизации обучения (В.А. Далингер, JI.H. Ланда, М.П. Лапчик, В.М. Монахов, Н.Ф. Талызина, Л.М. Фридман, А.Т. Шумилин и др.).
Методы исследования: теоретический, эмпирический, методы обработки данных, методы математической статистики
Теоретическая значимость курсовой работы: На практически-семинарских занятиях студенты изучают различные методические источники (программы, методические пособия, учебники, анализируя и корректируя систему упражнений и др.), творчески подходят к методической литературе и организуют из них учебную деятельность, студенты имеют возможность свободно использовать свои личные мнения и наблюдения в своих лекциях.
Практическая значимость курсовой работы: данные в курсовой работе могут быть использованы будущими учителями начальных классов и учителями начальных классов общеобразовательных школ.
Структура курсовой работы состоит из : введения , двух глав, заключения, списка использованной литературы.


ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
1.1 Понятие алгоритма. Виды алгоритмов
Среди разнообразных правил, с которыми приходится сталкиваться ежедневно и ежечасно, особую роль играют правила, предписывающие последовательность действий, ведущих к достижению некоторого необходимого результата. Нередко их называют алгоритмами.
Слово «алгоритм» происходит от имени выдающегося математика средневекового Востока Мухаммеда бена Муса аль-Хорезми. В одном из своих трудов он описал десятичную систему счисления и впервые сформулировал правила выполнения арифметических действий над целыми числами и обыкновенными дробями.
Аль - Хорезми стремился к тому, чтобы сформулированные им правила были понятными. Достичь этого в IX веке, когда еще не была разработана математическая символика (знаки операций, скобки, буквенные обозначения и т.д.), было трудно. Однако ему удалось выработать четкий стиль строгого словесного предписания, который не давал читателю возможность уклонится от предписанного или пропустить какие-нибудь действия.
Правила в книгах Ал - Хорезми в латинском переводе начинались словами «Алгоризми сказал». В других латинских переводах автор именовался как Адгоритмус. Со временем было забыто, что Алгоризми (Алгоритмус) - это автор правил, и эти правила стали называть алгоритмами¹ [Стойлова, 2007].
Единого «истинного» определения понятия «алгоритм» нет. Научное определение понятия алгоритма дал Алонзо Черч в 1930 году. Алгоритм означает точное описание некоторого процесса, инструкцию по его выполнению. [Кнут, 1976].
Согласно другому определению, которое дал В. П. Беспалько, под алгоритмом понимают точное, общепонятное описание определенной последовательности интеллектуальных операций, необходимых и достаточных для решения любой из задач, принадлежащих к некоторому классу [Беспалько, 1997].
По А.А. Маркову в математическом обиходе под алгоритмом принято понимать «точное предписание, определяющее вычислительный процесс, ведущий от варьируемых исходных данных к искомому результату» [Марков, 1984].
Л.Н. Ланда определяет алгоритм, как правило, предписывающее последовательность элементарных действий (операций), которые в силу их простоты однозначно понимаются и исполняются всеми. Алгоритм - это система указаний (предписаний) об этих действиях, о том, какие из них и как надо производить [Ланда, 1996].
Определение, которое дает в своей книге Н.А.Криницкий, звучит так: алгоритм - это правило, сформулированное на некотором языке и определяющее процесс переработки допустимых исходных данных в искомые результаты. [Криницкий, 1984].
Алгоритм - это конечный набор правил, который определяет последовательность операций для решения конкретного множества задач и обладает пятью важными чертами: конечность, определённость, ввод, вывод, эффективность [Кнут, 1976].
Алгоритм - это всякая система вычислений, выполняемых по строго определённым правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи [Колмогоров, 1987].
Алгоритм - правило действий, последовательность проведения вычислительных операций, способ нахождения искомого результата [Райзберг, 2007].
Алгоритм - совокупность предписаний о последовательном выполнении системы различных операции (вычислений), необходимых для решения определенной задачи [Паффенгольц, 1978].
Алгоритм - математическая система операций (напр., вычислений), применяемых по строго определенным правилам, которая после последовательного их выполнения приводит к решению поставленной задачи [Комлев, 2006].
Алгоритм [algorithm] - точное предписание относительно последовательности действий (шагов), преобразующих исходные данные в искомый результат [Дело, Лопатников, 2003].
Алгоритм - совокупность действий, правил для решения данной задачи [Ожегов, 2008].
Большая советская энциклопедия трактует понятие «алгоритм» как точное предписание, которое задает вычислительный процесс, начинающийся с произвольного исходного данного и на определение полностью определяемого этим исходным данным результата[Прохоров, 2003].
В своей работе мы будем опираться на определение, данное Л.П. Стойловой, в соответствии с которым алгоритм рассматривается как программа действий для решения задач определенного типа [Стойлова, 2007].
Алгоритмы в зависимости от цели, начальных условий задачи, путей ее решения, определения действий исполнителя подразделяются следующим образом:
• Механические алгоритмы, или иначе детерминированные, жесткие (например, алгоритм работы машины, двигателя и т.п.);
• Гибкие алгоритмы, например стохастические, т.е. вероятностные и эвристические. Механический алгоритм задает определенные действия, обозначая их в единственной и достоверной последовательности, обеспечивая тем самым однозначный требуемый или искомый результат, если выполняются те условия процесса, задачи, для которых разработан алгоритм.
• Вероятностный (стохастический) алгоритм дает программу решения задачи несколькими путями или способами, приводящими к вероятному достижению результата.
• Эвристический алгоритм- это такой алгоритм, в котором достижение конечного результата программы действий однозначно не предопределено, так же как не обозначена вся последовательность действий, не выявлены все действия исполнителя.
• Линейный алгоритм - набор команд, выполняемых последовательно во времени друг за другом.
• Разветвляющийся алгоритм - алгоритм, содержащий хотя бы одно условие, в результате проверки которого ЭВМ обеспечивает переход на один из двух возможных шагов.
• Циклический алгоритм - алгоритм, предусматривающий многократное повторение одного и того же действия (одних и тех же операций) над новыми исходными данными. К циклическим алгоритмам сводится большинство методов вычислений, перебора вариантов.
• Вспомогательный алгоритм (процедура) - алгоритм, ранее разработанный и целиком используемый при алгоритмизации конкретной задачи. В некоторых случаях при наличии одинаковых последовательностей указаний (команд) для различных данных с целью сокращения записи также выделяют вспомогательный алгоритм [Интернет ресурс].
Профессор Стендфортского университета Д.Кнут (Калифорния, США) в книге «Искусство программирования для ЭВМ» отмечает, что современное значение слова «алгоритм» очень схоже со значением слов «рецепт», «процесс», «метод», «способ», «программа», но имеет свой дополнительный смысловой оттенок. Это уточнение смысла может быть сформулировано как перечень некоторых свойств, которыми должен обладать любой алгоритм.
Приведем перечень наиболее важных свойств алгоритма:
. Дискретность;
. Элементарность шагов;
. Определенность (детерминированность).
. Результативность.
. Массовость.
. Дискретность. Шаги в алгоритме должны идти в определенной последовательности. Это означает, что в любом алгоритме для следующего шага (кроме последнего) можно указать единственный непосредственно следующий за ним шаг, то есть такой, что между ними нет других шагов. Это свойство дискретности организмов.
Дискретная структура алгоритмов хорошо видна в алгоритмах выполнения арифметических действий. Например, алгоритм нахождения суммы 34+23 формулируется так:
) Пишу десятки под десятками, а единицы под единицами.
) Складываю единицы: 4+3=7
) Складываю десятки:3+2=5, пишу 5 под десятками.
) Читаю ответ: сумма равна 57.
. Элементарность шагов. Каждый шаг программы, задающей алгоритм, должен состоять из выполнимых действий. Это означает, что предусмотренные действия были выполнимы теми исполнителями, которым она адресована. Так, например, задание «решить уравнение х+9=17» один ученик уверенно выполняет и получает искомое значение переменной х, так как владеет всеми действиями, необходимыми для решения простейших уравнений:
) прочитай уравнение;
) установи, какой компонент неизвестен;
) вспомни правило, как найти значение неизвестного;
) найди значение неизвестного;
) сделай проверку;
) запиши ответ.
Другой не справляется с заданием или получает неверный ответ, так как не владеет хотя бы одним из действий, которые требуются для выполнения данного задания.
Как видно из примера под словом «действие» понимаются не только математические операции, но оно имеет и более широкий смысл.
Кроме того, в алгоритме недопустимы также ситуации, когда после выполнения очередного действия исполнителю неясно, какое из них должно выполняться на следующем этапе.
Все сказанное характеризует свойство алгоритма, называемое свойством элементарных шагов.
. Определенность. Каждая программа, задающая алгоритм, должна состоять из конечного числа шагов, а каждый шаг должен быть точно и однозначно определен. Это свойство алгоритмов называется свойством определенности (или детерминированности).
. Результативности. Программа, задающая алгоритм должна быть направлена на получение определенного результата. Получение результата за конечное число шагов составляет свойство результативности алгоритма. Эта черта выражается в том, что алгоритм всегда направлен на получение некоторого искомого результата. Эта черта алгоритма, однако, не предполагает, что алгоритмы приводят к получению нужного результата при всех исходных данных, принадлежащих к определенному классу, возможно, что к некоторым исходным данным алгоритм оказывается неприменимым, и тогда процесс выполнения алгоритма либо безрезультативно обрывается, либо никогда не заканчивается.
. Массовость. Программа, задающая алгоритм, должна быть применима к любой задаче рассматриваемого типа. Другими словами, каждый алгоритм предназначен для решения не одной-единственной, а любой из некоторого бесконечного класса однотипных задач.
Например, алгоритм решения линейного уравнения первой степени применяется для решения всех уравнений вида ах + b=0. В этом состоит свойство массовости алгоритмов [Игнатова, 1989].
Одним из источников алгоритмов является практика, которая предоставляет нам две основные возможности: наблюдение и эксперимент (а также любые их комбинации).
Объектом наблюдения может быть какое-либо живое существо (в частности, человек), умеющее решать какую-либо из возникающих перед ним задач. Описывая его действия, анализируя их зависимость от изменяющихся условий, можно получить алгоритм для решения упомянутой задачи. Получаемые этим путем алгоритмы обычно называют имитирующими. В более сложном случае объектом наблюдения может быть коллектив совместно действующих живых существ.
В еще более сложных случаях наблюдают какой-либо процесс, протекающий в неживой природе, организме или в обществе, изучают влияние на него различных факторов; в конце концов, может быть получен алгоритм управления этим процессом (который будет эффективным, если существует реальная возможность изменять определяющие процесс факторы). Алгоритмы, полученные таким образом, принято называть эмпирическими.
Алгоритмы иногда можно получить экспериментально, подбирая действия, приводящие к желаемому результату. Их не выделяют в отдельную группу и условно относят к эмпирическим.
В качестве второго источника следует указать научную теорию, из основных положений и установленных фактов которой алгоритмы в некоторых случаях могут быть выведены.
Третьим источником новых алгоритмов может являться совокупность уже накопленных. Когда с помощью специальных приемов из имеющихся алгоритмов можно получать новые.
Наконец, четвертым источником алгоритмов может быть изобретательность их разработчика. Алгоритмы кодирования и декодирования по заданному ключу происходят из этого источника.
Как бы ни был получен алгоритм, он должен быть обоснован; это означает, что если алгоритм создан для решения определенной задачи, то необходима уверенность в том, что для всех исходных данных, для которых эта задача может быть решена, алгоритм позволяет получить решение и ни для каких исходных данных не дает неправильного результата. Это называется корректностью алгоритма.
Корректность эмпирических алгоритмов обычно проверяют экспериментально. Какую-то уверенность в их корректности можно получить, если их многократное применение всегда приводит к необходимому результату. Однако одно только многократное экспериментальное подтверждение еще не вселяет полной уверенности.
Полная уверенность в корректности эмпирического алгоритма возникает лишь в том случае, когда полученныеc его помощью результаты не только подтверждаются экспериментально, но и согласуются со всеми другими накопленными и объединенными в научную теорию фактами данной области науки или техники.
Если хотя бы один из даваемых алгоритмом результатов противоречит хотя бы одному из ранее установленных и получивших признание фактов, эмпирический алгоритм нельзя признать корректным (хотя после проверки может оказаться некорректным не алгоритм, а тот факт, которому он противоречит). Корректность теоретически обусловленных алгоритмов гарантируется наличием соответствующих доказательств.
Очень интересен вопрос об установлении корректности алгоритмов, полученных на основе других, ранее разработанных и заведомо корректных алгоритмов. Решение этого вопроса зависит от приема, который был применен для получения нового алгоритма.
Перечислим наиболее часто применяемые приемы.
) Конструирование алгоритмов. Этот прием заключается в том, что новый алгоритм получают комбинированием уже известных алгоритмов как составных частей.
) Эквивалентные преобразования алгоритмов. Два алгоритма называют эквивалентными, если: а) всякий вариант исходного данного, допустимый для одного из них, допустим и для другого; б) применимость одного алгоритма к какому-либо исходному данному гарантирует, что и другой алгоритм применим к этому исходному данному; в) результаты, даваемые этими алгоритмами для одного и того же исходного данного, между собой одинаковы.
Всякое изменение алгоритма, в результате которого снова получается алгоритм и при этом эквивалентный исходному алгоритму, называется эквивалентным преобразованием алгоритма. Примером эквивалентного преобразования алгоритма является его перевод с одного языка на другой.
) Сужающие преобразования. Они приводят к алгоритмам решения задач, являющихся частными случаями тех задач, для решения которых были предназначены исходные алгоритмы.
) Применение формального метода к нематематической проблеме. Этот прием заключается в том, что нематематическую проблему формулируют математически. При этом может оказаться, что известен алгоритм решения получившейся математической задачи. Этот алгоритм и принимается за искомый. Если готового алгоритма не окажется, то делают попытку его разработки, тем самым обращаясь ко второму из указанных выше источников для получения алгоритмов.
Корректность алгоритмов, полученных путем конструирования, не вызывает сомнений, если алгоритмы, использованные в качестве «строительного материала», дают точные результаты. Если же их результаты являются приближенными, как это часто бывает на практике, то обоснование корректности может требовать сложных исследований.
Доказательством корректности алгоритмов, полученных с помощью эквивалентных преобразований, является правильность преобразований
Корректность алгоритмов, полученных путем сужающих преобразований, обеспечивается проверкой (доказательством) того, что каждый результат, получаемый суженным алгоритмом, тождествен с результатом, который для того же варианта исходного данного дает исходный алгоритм.
Наконец, корректность алгоритма, полученного в результате применения формального метода, выясняется либо так же, как для эмпирических алгоритмов, либо а) оценкой, так называемой адекватности полученной математической задачи (т. е. возможности получения при ее решении результата, достаточно близкого к искомому результату) и б) доказательством корректности алгоритма решения математической задачи [Криницкий, 1984].
Алгоритмы, полученные в результате изобретательности разработчика, также требуют обоснования. Обычно с ними поступают либо как с эмпирическими, либо (уже после их получения) проделывают все действия, предусматриваемые формальным методом.