Puasson taqsimoti va uning parametrlari. Tarqatish va Puasson formulasi

Puasson taqsimoti va uning parametrlari. Tarqatish va Puasson formulasi
Amaliyotning ko'pgina muammolarida o'ziga xos qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar bilan shug'ullanish kerak, bu deyiladi. Puasson qonuni.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X, bu faqat manfiy bo'lmagan butun qiymatlarni qabul qilishi mumkin:
bundan tashqari, ushbu qiymatlarning ketma-ketligi nazariy jihatdan cheklanmagan. Tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi X Agar u ma'lum bir qiymatni olish ehtimoli bo'lsa, Puasson qonuniga ko'ra taqsimlanadi T, formula bilan ifodalanadi
qayerda a- ba'zi ijobiy qiymat, deyiladi parametr Puasson qonuni.
Tarqatish seriyasi tasodifiy o'zgaruvchi X, Puasson qonuniga ko'ra taqsimlanadi, quyidagi shaklga ega:
Avvalo, (5.9.1) formula bo'yicha berilgan ehtimollar ketma-ketligi taqsimot qatori bo'lishi mumkinligiga ishonch hosil qilaylik, ya'ni. barcha ehtimollar yig'indisi P t birga teng. Bizda ... bor:

Lekin 

5.9.1-rasmda tasodifiy miqdorning taqsimot ko‘pburchaklari ko‘rsatilgan X, Puasson qonuniga muvofiq taqsimlanadi, mos keladi turli ma'nolar parametr a. Ilovaning 8-jadvalida qiymatlar ko'rsatilgan P t har xil uchun a.
Tasodifiy miqdorning asosiy xarakteristikalari - matematik kutilma va dispersiyani aniqlaymiz X, Puasson qonuniga muvofiq taqsimlangan. Matematik kutishning ta'rifi bo'yicha 

Guruch. 5.9.1.
Yig'maning birinchi muddati (mos keladi t = 0) nolga teng, shuning uchun yig'indini dan boshlash mumkin t = 1:
belgilaymiz t - 1 = k; keyin
Shunday qilib, parametr a tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutishidan boshqa narsa emas X.
Dispersiyani aniqlash uchun birinchi navbatda miqdorning ikkinchi boshlang'ich momentini topamiz X:

Oldindan tasdiqlangan ma'lumotlarga ko'ra  Bundan tashqari,  shuning uchun,

Shunday qilib, tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi, Puasson qonuniga muvofiq taqsimlanadi, uning matematik kutilmasiga teng a.
Puasson taqsimotining bu xususiyati ko'pincha gipoteza tasodifiy o'zgaruvchi ekanligini aniqlash uchun amalda qo'llaniladi X Puasson qonuniga muvofiq taqsimlanadi. Buning uchun statistik xarakteristikalar tajribadan aniqlanadi - tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi. Agar ularning qiymatlari yaqin bo'lsa, bu Puasson taqsimoti gipotezasi foydasiga argument bo'lishi mumkin; bu xususiyatlarning keskin farqi, aksincha, farazga qarshi guvohlik beradi.
Keling, tasodifiy o'zgaruvchini aniqlaylik X, Puasson qonuniga ko'ra taqsimlanadi, u berilgan qiymatdan kam bo'lmagan qiymatni olish ehtimoli Kimga. Biz bu ehtimollikni belgilaymiz R k:

Shubhasiz, ehtimollik R k summasi sifatida hisoblash mumkin

Biroq, uni qarama-qarshi hodisa ehtimolidan aniqlash osonroq:
Xususan, miqdorning ehtimoli X formula bilan ifodalangan ijobiy qiymatni oladi
Ko'pgina amaliy muammolar Puasson taqsimotiga olib kelishini yuqorida aytib o'tgan edik. dan birini ko'rib chiqing tipik vazifalar shunday turdagi.
Nuqtalar Ox abscissa o'qi bo'yicha tasodifiy taqsimlansin (5.9.2-rasm). Buni taxmin qilaylik tasodifiy taqsimot ball quyidagi shartlarga javob beradi: