Qanday shartda karrali va takroriy limitlar teng bo’ladi? Matematik analiz

1. 
   Qanday shartda karrali va takroriy limitlar teng bo’ladi?
   

Matematik analiz:
Haqiqiy sonlar to`plami. Funksiya va uning berilish usullari. Sonli ketma-ketlik va uning limiti. Funksiyaning limiti, uzluksizligi. Kesmada uzluksiz bo`lgan funksiyaning hossalari. Hosila, uning geometrik va mehanik ma’nolari. Differensial va differensiallanuvchanlik. Yuqori tartibli hosila va differensiallar. Differensial hisobning asosiy teoremalari. Funksiyani to`la tekshirish va grafigini chizish. Boshlang`ich funksiya va aniqmas integral. Ratsional, sodda irratsional va transtsendent funksiyalarni integrallash. Aniq integral va uning xossalari. Integrallanuvchi funksiyalar sinfi. Nyuton-Leybnits formulasi. Xosmas integral. Aniq integralning tatbiqlari. Sonli qator va uning yaqinlashuvchanligi. Sonli qator yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartlari. Musbat qator, taqqoslash teoremalari, yaqinlashish alomatlari. Ixtiyoriy hadli qatorlar. Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar. Leybnits teoremasi. Darajali qatorlar. Abel teoremasi. Darajali qatorning yaqinlashish radiusi, yaqinlashish intervali, yaqinlashish sohasi. Teylor formulasi va qatori. Funksiyalarni darajali qatorlarga yoyish. Furye qatori. Funksiyalarni Furye qatoriga yoyish. Ko`p o`zgaruvchili funksiyalar. Karrali va takroriy limitlar, uzluksizlik. Xususiy hosilalar. Differensial va uning geometrik ma’nosi. Yuqori tartibli xususiy hosilalar va to`la differensiallar. Ko`p o`zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari. Ikki, uch o`lchovli integrallar va ularni hisoblash. Karrali integrallarning tatbiqlari. Asosiy tushunchalar. Differensial tenglamaga olib keladigan masalalar. Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar: o`zgaruvchilari ajraladigan va unga keltiriladigan differensial tenglamalar. Bir jinsli va unga keltiriladigan differensial tenglamalar. Chiziqli tenglamalar, Bernulli tenglamasi. To`la differensialli tenglama, integrallovchi ko`paytuvchi. Lagranj va Klero tenglamalari. Izogonal va ortogonal traektoriyalar.

2. 
   Xususiy hosila hisoblash tartibini tushuntiring.
   

Faraz qilaylik, biror  da hosilaga ega   funksiya aniqlangan bo‘lsin. Ravshanki,  hosila  da aniqlangan funksiya bo‘ladi. Demak, hosil bo‘lgan funksiyaning hosilasi, ya’ni hosilaning hosilasi haqida gapirish mumkin. Agar  funksiyaning hosilasi mavjud bo‘lsa, uni  funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi deyiladi va  ,   simvollarning biri bilan belgilanadi. Shunday qilib, ta’rif bo‘yicha  ekan.

Shunga o‘xshash, agar ikkinchi tartibli hosilaning hosilasi mavjud bo‘lsa, u uchinchi tartibli hosila deyiladi     kabi belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha  .
Berilgan funksiyaning to‘rtinchi va h.k. tartibdagi hosilalari xuddi shunga o‘xshash aniqlanadi. Umuman  funksiyaning  -tartibli  hosilasining hosilasiga uning n-tartibli hosilasi deyiladi va  ,  ,  simvollarning biri bilan belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha n-tartibli hosila  rekkurent (qaytma) formula bilan hisoblanar ekan.